2ème épreuve de mathématiques Option A 2003 ISFA

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Examen du Supérieur ISFA. Sujet de 2ème épreuve de mathématiques Option A 2003. Retrouvez le corrigé 2ème épreuve de mathématiques Option A 2003 sur Bankexam.fr.

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• 2003
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• Publié par: bankexam
• Publié le: 05 mars 2007
• Nombre de lectures: 77
• Langue: Français

Extrait

I. S. F. A.  _________

   

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1 ) °

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3°)

 

2003

DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES  _________________________________________ Durée : 4 heures

OPTION A Les calculatrices sont interdites.

EXERCICE

Quelle est la période de la fonction :x→f(x)=sinx?

2003-2004  _________

Concours d'Entrée  _______________

Développer fen série de Fourier. En quels pointsfest-elle égale à la somme de sa série de Fourier ?

Soitϕune fonction continûment dérivable sur un intervalle compact [ a,b. Montrer que : α l → im + ∫ a b ϕ(t) cos(αt)dt=0 ∞

puis en utilisant le résultat de la question 1 conclure que :

λ l → im + ∫ b a ϕ(t) sinλt dt = 2 π ∫ b a ϕ(t)dt . ∞

PROBLEME

∞ On noteC ∞ ( , ) leespace vectoriel des fonctions de classeCdedans.

- I -  

Pourf∈C ∞ ( , ) etλ ∈on considère la fonction (D− λI)fdéfinie pourx∈par ( (D− λI)f ) (x)=f ′ (x)− λf(x) . Puis pour chaquem∈ ∗  (D− λI) m  linéaire sur l’opérateurC ∞ (,)

(D− λI)o(D− λI)oLo(D− λI)mfois.

Montrer par récurrence : pour toutm∈ ∗ , toutf∈C ∞ (,) et toutxde:

défini

(D− λI) m f(x)=e λx D m f(x)e −λx oùD m est l’opérateur de dérivation d’ordrem:D m g(x)=g (m) (x) .

par

Montrer que pour toutλ ∈et toutm∈:f∈C ∞ (, () appartient au noyau deD− λI) m si et seulement

sifest définie par :f(x)=P(x)e λ oùPest un polynôme arbitraire, à coefficients complexes, de degré inférieur

ou égal àm-1. Pourm∈ ∗ etλ ∈on note : E m,λ =f:→f(x)=P(x)e λx oùPest un polynôme, à coefficients complexes, de degré inférieur ou égal

àm.

Le résultat de la question précédente s’écrit donc :ker(D− λI) m =E m1,λ .

 

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2

Montrer que pourλ etµ deux ( nombres complexes distincts :D− µI) est un automorphisme (une application

linéaire bijective) deE m,λ . Pours∈N\ {  considère0,1 ons naturels différents de 0 entiers :p 1 ,p 2 ,K,p etsnombres complexes distinctsλ 1 ,λ 2 ,K,λ (λ i ≠ λ j sii≠j) ; montrer que : (E p 1 ,λ 1 +E p 2 ,λ 2 +K+E p s−1 ,λ s−1 )∩E p s ,λ s = { 0 }   s−1 E p 1 ,λ 1 +E p 2 ,λ 2 +K+E p −1 ,λ s−1  l’ensemble des sommes désigne ∑ f  chacun des appartient à où j=1

E p j ,λ j . (Indication : faire préalablement le cass=2) .

II - -

n  On considère le polynôme complexe :P(z)=z n − ∑ c z n−i  (n≥1) . i i=1  On suppose connues les racines distinctes deP: λ 1 ,λ 2 ,K,λ p d’ordres de multiplicité respectifs 1 ,α 2 ,K,α p   (donc 1 +α 2 +K+α p =n) etP(z)=(z− λ 1 ) α 1 (z− λ 2 ) α 2 K(z− λ p ) . n  Enfin on considère l’équation différentielle d’ordren:P(D)(y)= :0 c’est-à-direy (n) (t)= ∑ c i y (n−i) (t) (E) . i=1 1°) Montrer  que pour 1≤i≤p etf∈E α i −1,λ i  fest solution de (E). 2°) En admettant (cf. votre cours) que l’ensembleS p  solutions de (E) est un(E) desespace vectoriel de

 

dimensionn, trouver une base deS p (E) .

- III -  

On noteAune matricen×nà coefficients complexes et on considèreX ′ (t)=AX(t)

(S)

le système d’ordrendéfini parArappelle qu’il existe une unique fonction définie sur. On à valeurs dans les matrices n×n, à coefficients complexes, notéee tA telle que (e tA ) ′ = Ae tA ete 0A =I d (la matrice identitén×n). 1°) Rappeler pourquoit→e tA X 0  l’unique solution du problème de Cauchy : trouver estX:→ n , dérivable, satisfaisant, pour touttde,X ′ (t)=AX(t) etX(0)=X 0 . La résolution de (S) revient donc à calculere tA . Pour cela la clé de la démonstration est le théorème de Cayley-

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2003

Hamilton que l’on rappelle ici : sic(λ)=det(A− λI d ) est le polynôme caractéristique deAon ac(A)=0 (dans le polynômec;λest remplacé parAet 1 par d ). On poseP 0 =I d et pour i=1…n P i =(A− λ i I d )P i−1   λ i ,i=1…n, désigne les différentes valeurs propres deA, chacune répétée autant de fois que sa multiplicité. Justifier queP n =0 . n On pose a priorie(t)= ∑ W i (t)P i−1 ,W i fonction dérivable dedans. i=1 Montrer que siW 1 ′ (t)= λ 1 W 1 (t) etW i ′ (t)= λ i W i (t)+W i−1 (t) pouri=2…n,on obtiente ′ (t)=Ae(t) . Quelles conditions initiales, pourt=0, doit-on prendre sur lesW i ,i=1…n, pour obtenire(t)=e tA . Déterminer alors, par récurrence lesW i ,i=1…n(la réponse contient, pouri=2…n, un signe intégrale).

 

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2003

- IV -

Siyest solution de (E) trouver une matriceB,n×n, telle que :

si on poseX(t)= y(t) ⎥ ⎢ ⎡ ⎢ ⎢ y ′ M (t) ⎥ ⎥ ⎤ ⎥ Xest solution deX ′ = BX. ⎢ ⎢ ⎣ y (n−1) (t) ⎦ ⎥   En déduire que la connaissance dee tB donne une base deS p (E) .

3

Inversement soit le système (S)X ′ = AX. On note encorec(λ) le polynôme caractéristique deA, on suppose n qu’il s’écritc(λ)= λ n − ∑ c i λ n−i ; montrer à l’aide du théorème de Cayley-Hamilton quec(D)(e tA )=0 i=1 n (c(D)F=0 signifiant encore :F (n) − ∑ c i F (n−i) =0 ). i=1 = En déduire que tous les termesy de la matricee tA  sont solutions de (E) c’est à dire satisfontc(D)(y .) 0

Notation : à partir d’ici le polynômePde– II –est le polynôme caractéristiquecdeA. On note { 1 ,y 2 ,K,y n une base deS c (E) . Justifier l’existence den matricesn×nà coefficients complexes

telles que :

e tA =y 1 (t)F 1 +y 2 (t)F 2 +K+y n (t)F n .

En dérivantnfois cette relation, montrer que :

F F 1 A I d ⎡ ⎢ ⎢ y y 1 1 ′ ( (t t) )y y 2 ′ 2 ( (t t) ) ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ F n ⎦ ⎣ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ = ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎤ ⎡ A n−1 ⎣ ⎥ ⎦ ⎢ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ y 1 (n−1) (t)y ( 2 n−1) (t) M 2 W(y, 0) −1 M oùW(y,t) ⎢ = ⎢ M M

L

y y n n ′ ( t t) ⎤ ⎥ ( ) (nn M 1) (t) ⎥ ⎥ ⎥ . y − ⎥ ⎦

On admettra (cf. votre cours) que { y 1 ,y 2 ,K,y n est une base deS c (E) si et seulement si

∀t∈ det ( W(y,t)) ≠0 .

Si l’on suppose (E) résolue donner une expression de tA  e. Si[ϕ 1 ,ϕ 2 ,K,ϕ n est la 1 ère ligne dee tB montrer que :

 

e tA = ϕ 1 (t)I d + ϕ 2 (t)A+K+ ϕ n (t)A n−1 .

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