2ème épreuve de mathématiques Option B 1998 ISFA

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Examen du Supérieur ISFA. Sujet de 2ème épreuve de mathématiques Option B 1998. Retrouvez le corrigé 2ème épreuve de mathématiques Option B 1998 sur Bankexam.fr.

Sujets

• 1998
• Isfana

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 05 mars 2007
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• Langue: Français

Extrait

I S. F. A. _________

DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________

1998-1999 _________

Concours d'Entrée _______________

Durée : 4 heures OPTION B Les calculatrices sont interdites. Les problèmes I et II sont indépendants I On considère l'expérience aléatoire suivante: (schéma ci-contre) Une sphère de rayonr est coupée par un plan situé H à une distance aléatoire (notéeH) du centreOde la sphère. O On suppose que la loi deHest la loi uniforme sur le segment[0,r]. On noteRle rayon du cercle intersection. 1°- ExprimerRen fonction deH. En déduire l'espérance et la variance deR. 4 2 On poseX= ×R. Donner l'espérance puis la variance de X que l'on écrira sous la formek.r π ième 2°- On répète de manière indépendante l'expérience décrite ci-dessus. On note R le rayon obtenu à la n n n 1 expérience et X la variable associée définie en 1°. On note aussiXla variable ×X . nn ∑ k n k=1  (i)En appliquant le théorème de la limite centrale à la suite { X ,n∈N*} donner une expression approchée n du réel λ tel que l'événement " X−r<λ" se réalise avec une probabilité de 90%. nn n 1.64 2 1 −2x / (On donne :e dx#0.95) ∫ 2π −∞ r En déduire des expressions approchées de deux réelsaetbtel que l'événement : " a< <b " se réalise n n n n X n avec une probabilité de 90%. Donner un équivalent de la différence b−a quandntend vers+∞. n n  (ii)On note M la variable aléatoire ),.., RMax( R . n 1n Donner la fonction de répartition de la loi de la variable M . n r 1 En déduire un réel c tel que l'événement "1< <" se réalise avec une probabilité de 90%. n M c n n 1 Donner un équivalent, quandntend vers+ ∞  , de la différence −1 . c n Commentaires.

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II  Onse propose d'étudier l'évolution d'une population de bactéries. Cette évolution est décrite par les règles exposées ci-dessous:  (a)Toute bactérie évolue indépendamment des bactéries voisines.  (b)Si une bactérie est présente dans la populationà la daten(nentier naturel) elle peut :  -soit, avec une probabilité notéex, disparaître purement et simplement entre les datesnetn+1;  -soit, avec une probabilité notéey, survivre à la daten+1sans créer de bactérie "sœur ";  -soit, avec une probabilité notéez, survivre à la daten+1en créant une bactérie "sœur" (ayant les mêmes caractéristiques d'évolution) égalementprésente à la daten+1. On a doncx+y+z=1. Les abréviations "Pr" et "Esp" désignent les mots "probabilité" et "espérance". Les parties A et B sont indépendantes. A A la date0une seule bactérie est présente. Le réelxest supposé strictement positif. On noteN n le nombre de bactéries présentes à la daten. N 1 1°- Donner la loi de N . Calculer le polynôme Q (t ) = Esp( t) . 1 1 N 2 2°- Donner la loi de N .Vérifier que le polynôme t )Q (=)Esp( t peut s'écrire : 2 2 2 Q (t )=x+y×Q (t )+z×Q (t ) 2 11 3°- Etablir les relations suivantes :  Pr( N = 0 ) = x + y × Pr( N = 0 ) + z × H (0 ) n n − 1 n − 1  Pr( N = k ) = y × Pr( N = k ) + z × k )kH ( ≥ 1 n n1 n1  − −  oùla suitek → ( k ) Hest une suite de probabilités que l'on définira. n N 2 n 4°- On notet )Q (le polynômeEsp( t). Déduire de 3° l'égalitét )Q ( = x + y × t )Q ( + z × Q (t ) n nn−1 n−1 5°- Les réelsx,yetzsont les probabilités définies ci-dessus. On définit la suiten → upar : n  -le premier termeu 1 supposé appartenir au segment [0,Min(1,x/z)]. (Onposex/z=∞sizest nul) 2  -la relation de récurrence :u = x + y × u + z × u n n−1 n−1  (i)Montrer que la suite prend ses valeurs sur le segment[0,1] etest croissante. En déduire que la suite est convergente. Donner sa limite(On sera amené à discuter en fonctionde la différencex-z)  (ii)En déduire qu'il existe un segment[0,r] (r>0) tel que, pourt ∈ [0,r], les suitesn → t )Q (aient la même n limite.  (iii) Déduire alors la limite de la suite n → Pr( N = 0 )etmontrer que, pourkentier naturel non nul, la suite n n → Pr( N = k )a pour limite0. n 6°- On note: Al'événement "la population s'éteint" Bl'événement "l'effectif de la population reste borné et non nul". Cl'événement "l'effectif de la population n'est pas borné."  (i)Exprimer l'événementA enfonction de la suite des événements" N = 0 ". En déduire la probabilité de n l'événementA.  (ii) Montrer quePr(B)est égale à la limite de la suite h→Pr( "0<N≤h" ) .  n n∈N* Déduire de 5° la probabilité Pr(B)  (iii) Conclure sur les probabilités Pr(A),Pr(B) et Pr(C) suivant la valeur de la différence x-z.

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7°-On suppose pour cette questionx-z≥0. On définit la variable aléatoire T à valeurs entières par T=Inf { Nn /=0 } . n On se propose de montrer que la variable T admet une espérance pour x>z et n'a pas d 'espérance pour x=z.  (i) CalculerPr(T=1) ; Pr(T=2).  (ii) On noteαla probabilité de l'événement "N n >0" . On pose, pourn=0,α=1 . n 0 Montrer, pourn≥1,les égalités :Pr( T=n )=α−α=α×( x−z+z×α) n−n1 n−1 n−1  (iii)On supposex>z. Montrer que α est équivalent à α×( 1−x+z ) . En déduire que T une admet n n−1 espérance.  (iv)On supposex=z. Etablir les relations: p p  n×Pr( T=n )= −p×α+α  ∑ p ∑ n−1  n=1 n=1  2 Pr( T=n )=x×α  − n 1 En déduire qu'on ne peut avoir simultanément l'existence de l'espérance deTet la divergence de la série de terme général α . n 2 En utilisant la relation de récurrence α=α−x×α déduite de (ii) montrer que la série de terme général n n−1 n−1 ln( 1−x×α) diverge. Conclure. n B A la date0on suppose quemAucune bactérie ne peut créer de bactériesbactéries sont présentes. "sœurs". Les caractéristiques d'évolution desmbactéries sont notées respectivement {( y ,(x ,z=0 ) ) ; x+y=1 ; i=1,2,..,m }. i ii ii On suppose que, pour tout indice i, les probabilités x sont strictement positives. i N désigne encore le nombre de bactéries présentes à la date n . (n>0) n 1°- Reconnaître la loi deNquandx=xpour tout indicei. n i 2°- Calculer pour tout n  la probabilité Pr( N=0 ) n 3°- A désigne l'événement " la population s'éteint ". Calculer la probabilité Pr(A). 4°- Soit T la variable aléatoire définie par T=Inf { n /N=0 } . n m n Donner la loi de T . Montrer que Pr( T>n )=1−( 1−y ) ∏ i i = 1 5°- Montrer que la variable T admet une espérance et que cette espérance est égale à : 1 11 m + 1 Esp( T)= −+....+(−1 ) ∑ ∑ 1−y 1−y y1−y y ...y i=i 1,..,m i ≠ j i2 mj 1 (On pourra démontrer et utiliser Esp( T)=Pr( T≥n ) ) ∑ n≥1

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