2ème épreuve de mathématiques Option B 2003 ISFA

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Examen du Supérieur ISFA. Sujet de 2ème épreuve de mathématiques Option B 2003. Retrouvez le corrigé 2ème épreuve de mathématiques Option B 2003 sur Bankexam.fr.

Sujets

• 2003
• Isfana

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 05 mars 2007
• Nombre de lectures: 70
• Langue: Français

Extrait

I.S.F.A.

2002-2003 Concoursd’entr´ee

DEUXIEME EPREUVE DE MATHEMATIQUES

Introduction

Dur´ee:4heures Calculatricesautorise´es

OPTION B

Lapremi`erepartiedel’´epreuveestconsacre´ea`lacaracte´risationdes loisve´rifiantlarelationditedePanjer.Lasecondepartiepr´esentel’algo- rithmedePanjerquipermetdecalculercertainessommesale´atoiresdeva- riablesal´eatoiresdiscre`tes.Laderni`erepartieestconsacre´e`aunmode`letre`s simple qui permet de comprendre pourquoi une tarification a posteriori en assuranceautomobile(c’est-`a-direprenantencomptelenombred’accidents de´clar´esparunassure´)p´enalisefortementlesassure´squionteuunaccident lapremi`ereanne´e,maisnefavorisequefaiblementceuxquin’enontpaseu.

Mˆemesicertainesquestionssontmotive´espardesproble`mesactuariels,au- cune connaissance dans le domaine de l’assurance n’est requise. Les trois partiessontind´ependantes.

1Etudeetcaract´erisationdesloisve´rifiant larelationdere´currencedePanjer Onrepre´sentelenombred’accidents`aprendreenchargeparunecompa- gnied’assurancessurunepe´riodedonne´eparunevariableale´atoirediscr`ete N,a`valeursdansN´dceiretaplrsetseiolaltnodte,p k =P(N=k) pour k∈Nci`iesarelvscalefiant´erilatilareno.Pimradsecrtsitubinsios’ont´ineser dere´currencedePanjer:   b ∗ ∃a <1, b∈R,∀k∈N, p k =a+p k−1 (1) k Lebutdecettepartieestdecaracte´riserlesloisve´rifiant(1). RappelonsquelaloidePoissondeparame`treλrctidte´serape k λ −λ ∀k∈N, p k =e , k! ∗ etquelaloibinomialedeparame`tresn∈Netp∈]0,ce´dtse[rapetir1   n k n−k ∀0≤k≤n, p k =p(1−p) k etp k = 0 pourk > n. Rappelonsler´esultatsuivantsurlesse´riesentie`res:pourc∈Net|z|<1, ∞ X k z1 c(c+ 1). . .(c+k−1) = c k! (1−z) k=0 1.MontrerquesiNve´rifie(1)etquea= 0, alors N suit une loi de Poisson dontonpr´eciseraleparame`tre. 2.Ond´efinitladistributionbinomialen´egativedeparame`tresα >0 et p∈]0,1[ par   α+k−1 α k ∀k∈N, p k = (1−p)p k o`upourx∈Retk∈N,   x x(x−1). . .(x−k+ 1) =. k k! Calculer sa moyenne et sa variance en fonction deαet dep.

3. Quelledistribution obtient-on lorsqueα= 1? 4.LorsqueNve´rifielarelationder´ecurrence(1)aveca6= 0, montrer que pour toutk∈N, k−1 Y k a p k =p 0 (Δ +i) k! i=0 pouruncertainΔ`apr´eciser. 5. Montrerque pour toutk∈N,   Δ +k−1 ΔkΔ p k = (1−p)a(1−a) k 6.Ende´duireselonlesignedeala loi de N. 7.Conclurequelesloisv´erifiantlarelation(1)sontexactementlesdis- tributionsdePoisson,binomialesetbinomialesn´egatives. 8.Parmices3typesdedistributions,lequelchoisiriez-vouspourmode´liser laloideNsiune´etudestatistiquevousmontraitquelavarianceestim´ee deNestbeaucoupplusgrandequelamoyenneestime´edeN?

2 Algorithmede Panjer Ons’inte´ressemaintenanta`lavariableal´eatoire N X X=U k k=1 ou`NetlesU k ,k∈Neseri`ntseurlevaeD.esvariabsontdotrisea`elas´lae plus lesU k tnoses,idantepenind´idtsemtnqieuedtnubirsee´led,ociounmme d´ecriteparlesq k =P(U i =kmmosaL.Nlluntseearep,)teind´ependantesde convention siN´Dfie=.0nodsinsssl’eeplurancsp´eioere´talealriabnevaed’u Y`avaleursdansNve´nua`tnemellenontidionc`enementApar: X E(Y|A) =kP(Y=k|A) k∈N ∗ 1. Montrerque pourj∈Netn∈N,  ! n X j E U 1 |U i =j= n i=1

∗ 2.D´efinissonspourj∈Netn∈Nse´tiliblesproba ∗n q j =P(U 1 +∙ ∙ ∙+U n =j). ∗ Montrer que pourj,k∈Netn∈N,  ! n ∗(n−1) X q k q j−k P U 1 =k|U i =j= ∗n q j i=1 3.SupposonsdanslasuitedecettepartiequeNv´erifielarelation(1)de la partie 1. Soitr k =P(X=k) pourk∈N. Exprimerr 0 en fonction desq k et des p k . ∗ 4.Al’aidedesquestionspre´c´edentes,montrerquepourj∈N,  !! ∞n X X U 1 ∗n q . r j =a+bE|U i =j p n−1 j j n=1 i=1 5.Enutilisantlesquestionspr´ec´edentes,d´emontrerlaformuler´ecursive appele´e“algorithmedePanjer”: j   X bk ∗ ∀j∈N, r j =C a+q k r j−k j k=1 o`uCestuneconstantea`pre´ciser.

3Mode`lebons/mauvaisconducteurs SoitX 1 telesempnnnaes´eiota´derircetnavvarilaal´eableujqs’uuarp-e mier accident d’un conducteur,X 2 tereimerpelertnepsemetlemeuxi`lede ie`mei`eme accident et pouri≥3 soitX i le temps entre leiaccident et le (i+ 1) accident. On suppose que les (X i ) i∈N dtne-siitnemeuqsnoitantsetidnd´epend tribu´esselonuneloiexponentielledeparam`etreλvala`essere´tni’.Onsebliaar ale´atoireNd´ecrivantlenombreNndpetuananneeen´.da’ccdinest ∗ 1.Onrappellequ’uneloiGammadeparame`tresn∈Netλ >0 est donn´eeparsadensite´: n n−1−λt λ te + ∀t∈R, f n,λ (t) =. (n−1)!