Agregext composition de mathematiques generales 2005 maths

Description

SESSION DE 2005concours externede recrutement de professeurs agr´eg´essection : math´ematiquescomposition de math´ematiques g´en´eralesdur´ee : 6 heuresLes calculatrices ´electroniques de poche sont autoris´ees, conform´ement `a la circulaire 99-186du 16 novembre 1999.La qualit´e de la r´edaction et de la pr´esentation, la clart´e et la pr´ecision des raisonnementsconstitueront un ´el´ement important pour l’appr´eciation des copies.Les corps consid´er´es dans le probl`eme sont suppos´es commutatifs. Pour tout entier n> 1, onnoteM (C) l’anneau des matrices carr´ees a`n lignes etn colonnes a` coefficients dansC,M (Z)n nle sous-anneau de M (C) form´e des matrices a` coefficients dans Z, et C (Z) l’ensemble desn nvecteurs colonnes `a n lignes a` coefficients dansZ.Pour tout ensemble Z, on note S(Z) le groupe des bijections de Z sur lui-mˆeme. Si X et YXsont deux ensembles, on note Y l’ensemble des applications de X dans Y.I.1) Soit A une matrice de M (C).n1-a) Montrer que A∈M (Z) si et seulement si, pour tout X dans C (Z), on a AX ∈C (Z).n n n−11-b) SoitA une matrice deM (Z) dont le d´eterminant, not´e detA, est non nul et soitA sonn−1inverse dans M (C). Montrer que A ∈M (Z) si et seulement si |detA| = 1.n nn n2) On munitR d’un produit scalaire not´e <,>. Pour toute partie Y deR , on note∗ nY ={x∈R | ∀y ∈Y, ∈Z}.nSi B = (v ) est une base deR , on notei 16i6nn n oX nL = mv (m ,...,m )∈ZB i i 1 ni=1nle sous-groupe additif de (R ,+) engendr´e parB; ...

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Extrait

concours externe derecrutementdeprofesseursagre´ge´s

compositiondemath´ematiquesge´ne´rales

SESSION DE 2005

section:math´ematiques

dur´ee:6heures

Lescalculatrices´electroniquesdepochesontautoris´ees,conforme´menta`lacirculaire99-186 du 16 novembre 1999.

Laqualite´delar´edactionetdelapre´sentation,laclart´eetlapr´ecisiondesraisonnements constituerontune´le´mentimportantpourl’appre´ciationdescopies.