Agregext composition de mathematiques generales 2006 maths

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Extrait

6 Epreuve ecrite de mathematiques generales Preambule et notations preliminaires CeproblemeintroduitlesoperateursdeDunkldeparametrek dontonadmetlacommutativite. On etudie d’abord le cas k = 0, puis le rang 1 et en n certaines proprietes remarquables en dimensionn.OnutilisecesoperateurspourdemontreruneformuledeMacDonaldsurl’integrale de Mehta. Les deux premieres parties sont independantes. La troisieme partie n’utilise que le I.2.  On designe par N l’ensemble des entiers naturels positifs ou nuls et par R l’ensemble des nombres reels.  Dans ce probleme n est un entier superieur ou egal a 2. On note e ,...,e la base1 n n ncanonique de R . On munit R de sa structure euclidienne usuelle dont le produit scalaire est note (
,
).  On note R[X ,...,X ] l’algebre des polynˆomes en n indeterminees a coe cients dans R.1 n Tout polynˆome P de R[X ,...,X ] s’ecrit de maniere unique1 n X  1 nP = a X ...X 1 n n=( ,..., )∈N1 n ou les a sont des reels nuls sauf pour un nombre ni d’entre eux. Le polynˆome P etant xe, on note supp(P) l’ensemble des  tels que a = 0;α X  1 nainsi on peut ecrire P = a X ...X . 1 n ∈supp(P) Si P est un polynˆome de R[X ,...,X ], P designe aussi, par abus de notation, la fonction1 n npolynomiale associee et on note P(x) l’evaluation de P en x∈R . n X  1 n Le monˆome X


X est de degre  . Un polynˆome P non nul est dit homogene dei1 n i=1 degre d si P est combinaison lineaire non nulle de monˆomes de degre d. On note alors deg(P) ce degre. Y n(n 1) On note
le polynˆome (X X ); il est homogene de degre
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