Analyse numérique élémentaire 2006 Génie Mécanique et Conception Université de Technologie de Belfort Montbéliard

Jmartin

Description

Examen du Supérieur Université de Technologie de Belfort Montbéliard. Sujet de Analyse numérique élémentaire 2006. Retrouvez le corrigé Analyse numérique élémentaire 2006 sur Bankexam.fr.

Sujets

• 2006

Informations

• Publié par: bankexam
• Publié le: 15 août 2008
• Nombre de lectures: 38
• Langue: Français

Extrait

Utbm mt40Examen final Nb: Onrédigera les exercices sur des feuilles séparées.

Automne 2006

Exercice 1 Intégration gaussienne On considère les intégralesI 1 etI 2 définies par:   1 1 sin(x) cos(x) I 1 = √ dxetI 2 = √ dx. 2 2 −1 1−x −1 1−x 1.1Démontrer queI 1 etI 2 existent et peuvent être calculées par méthode gaussienne.Laquelle? 1.2On choisit, pour cette question, d’utiliser une méthode d’intégration gaussienne à trois points. a)Déterminer le support d’intégration{x 0 , x 1 , x 2 }. Quereprésente ce support, géométriquement? b)Valeurs approchées deI 1 etI 2 Fournir une valeur approchéeV 1 deI 1 et une valeur approchéeV 2 deI 2 . c)Erreur de méthode •Montrer que la valeur approchéeV 1 est exacte. Cette propriété deI 1 se généraliserait-elle avec un plus grand nombre de points de support? •Fournir une majoration de la valeur absolue de l’erreur de méthode commise dans l’évaluation de I 2 . En déduire un intervalle contenant certainementI 2 . 1.3Fournir une table qui, en fonction de l’entier naturelnélément de{1, ...,5}, fournit un majorant de|E n |, oùE n désigne l’erreur de méthode commise en intégration gaussienne ànpoints, dans l’évaluation de I 2 . Nb: Ons’attachera à trouver une relation liant les majorants de|E n |et|E n+1 |, en vue d’une informatisation éventuelle du traitement de cette question.

Exercice 2 Equations non linéaires SoitAun réel élément deI= ]1,+∞[considère l’équation. On(E) :f(x) = 0, oùfest définie par 2 f(x) =x−A. L’objet de l’exercice est de déterminer une valeur approchée de la solution positive de(E)par l’intermédiaire d’une équation ”approchée”.

2.1Existence et unicité de solution surI

•EtudierfsurIet montrer que(E)admet une solution unique, notéel, dansI. •Tracer la courbe représentative(C)defdans un repère du plan.

2.2Equation approchée de(E)

Soitα, βdeux éléments donnés, distincts ou non, deI.

a)Déterminer le polynômep 1 qui interpolefsur le support{α, β}.

1

b)On définit l’équation approchée(E αβ )de(E), relative au support{α, β}, par : (E αβ ) :p 1 (x) = 0.

b1)Montrer que siα=β,(E αβ )s’écrit: 2 (E αβ ) :α−A+ (β+α) (x−α) = 0.

Résoudre l’équation(E αβ ). b2)Montrer que siα=β,(E αβ )s’écrit: 2 (E αβ ) :α−A+ 2α(x−α) = 0.

′ Nb: Onrappelle que dans ce casf[α, α] =f(α).

Résoudre l’équation(E αβ ).

2.3Deux cas particuliers importants

a)Soitx 0 etx 1 deux éléments distincts deI.

•Soitn= 1; on poseα=x n etβ=x n−1 note. Onl a la solution de(E αβ )trouvée en 2.2b1). —Fournir l’expression del a en fonction dex n etx n−1 . —Que représente géométriquementl a par rapport à la corde(M n M n−1 ), oùM n etM n−1 désignent les points de la courbe(C)d’abscisses respectivesxetx? n n−1 —On définit alorsx n+1 par:x n+1 =l a . •Soit alorsn= 2; on itère le processus décrit ci-dessus, puis on fait de même pour toutn. Montrer qu’on définit ainsi la suite des itérés de Lagrange relatifs à l’équation(E).

b)Soitx 0 un élément deI. •Soitn= 0; on poseα=x n etβ=x n note. Onl a la solution de(E αβ )trouvée en 2.2b2.). —Fournir l’expression del a en fonction dex n . —Que représente géométriquementl a par rapport à la tangente enM n à la courbe représentative (C)def, oùM n désigne le point de(C)d’abscissex n déduire que? Enl a est dansI. et vérifiel a ≥l. —On définit alorsx n+1 par:x n+1 =l a . •Soit alorsn= 1; on itère le processus décrit ci-dessus et de même, pour toutn. Montrer qu’on définit ainsi la suite des itérés de Newton relatifs à l’équation(E). c)En déduire que les itérations de Lagrange et de Newton sont des cas particuliers d’un même processus. 2.4Vitesse de convergence t t∗ On considère désormais la suite(x n ), initialisée parx 0 [resp{x 0 , x 1 }], définie pourndeN[respN]par :x n+1 =l a oùl a est solution de(E αβ ) :p 1 (x) =O, sachant quep 1 interpolefsur le support t {α, β}égal à{x n , x n }[resp{x n , x n−1 }]. On pose pour toutndeN:e n =l−x n . a)En utilisant l’expression de l’erreur de méthode en interpolation polynômiale, montrer que: f[α, β, l] e n+1 =−(l−α)(l−β) f[α, β]

2

b)En déduire, sachant queζdésigne un réel deI: n •qu’en méthode de Newton(vu{α, β}={x n , x n })on a: 1 2 1 2 e n+1 =−(e n ) =−(e n ). ′ f(ζ) 2x n n •qu’en méthode de Lagrange(vu{α, β}={x n , x n−1 })on a: 1 1 e n+1 =−e n e n−1 =−e n e n−1 ′ f(ζ) 2ζ n n

c)Performances comparées des méthodes de Newton et Lagrange On suppose avoir établi que la suite(x n )converge versl. •Montrer que la convergence en méthode de Newton est quadratique. √ 1+ 5 •Montrer qu’en méthode de Lagrange la convergence est d’ordreϕ=, le nombre d’or. 2   k |e n+1 | |e n | Indication: oncherchera des réelspetktels que : p =c n p . |e n | |e n−1 |

3