Analyse numérique et splines 2007 Génie Informatique Université de Technologie de Belfort Montbéliard
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Analyse numérique et splines 2007 Génie Informatique Université de Technologie de Belfort Montbéliard

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Examen du Supérieur Université de Technologie de Belfort Montbéliard. Sujet de Analyse numérique et splines 2007. Retrouvez le corrigé Analyse numérique et splines 2007 sur Bankexam.fr.

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Publié le 27 janvier 2008
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Langue Français

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MT44
Durée : deux heure(s)
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On pourra admettre tout résultat intermédiaire afin de exercice.
Printemps 2007
poursuivre la résolution
d’un
Exercice 1itnoopaltnreI(). Soitfla fonction définie sur[1,1]parf(x) =ex. (1)Interpolation sur le supportS1=1,3,3,1(a) Déterminer la fonction polynômep3,1qui interpolefsur1,3,3,1. (b) Rappeler l’expression de l’erreur d’interpolatione1(x) =f(x)p3,1(x), pour toutxde [1,1], fournie en cours. (c) Montrer que : x[1,1]|e1(x)| ≤M1(x 2) =e4x21x2132. (2)Interpolation sur le supportS2=cos8,cos38,cos58,cos78
(3)
(a) Représenter graphiquement les supportsS1etS2. Qu’est-ce qui les différencie dans leur manière de partitionner[1,1]? (b) Sans déterminer la fonction polynômep3,2qui interpolefsurS2, rappeler l’expression de l’erreur d’interpolatione2(x) =f(x)p3,2(x), pour toutxde[1,1], fournie en cours. (c) Montrer que : x[1,1]|e2(x)| ≤M2(x 2) =e4x2α2 x2β2, αetβsont définis par :α= cos8etβ= cos38. Comparaison des majorantsM1etM2 (a) Etudier les variations deM1etM2sur[1,1].
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(b) Interprétez les résultats obtenus ; le cours laissait-il attendre ces résultats ?
Exercice 2(Intégration numérique). Soientkun entier naturel non nul etfde classeCksur l’intervalle[a, b]. Pour tout cet exercice, on pose h=ba.(1) On suppose que l’on connaît une formule d’intégration élémentaire defsur[a, b]sous la forme baf(x)dx=I(a, b, f) +E(a, b, f),(2) I(a, b, f)est la valeur approchée de l’intégrale etE(a, b, f)l’erreur commise. On supposera de plus l’erreur vérifie : il existe une constanteαtelle que pour toute fonctionfde classeCk, on a : E(a, b, f) =αhk+1f(k)(ξ)ξ[a, b].(3)
(1) Rappeler les expressions deI(a, b, f)etE(a, b, f)(sous la forme (3)) pour les méthodes élé-mentaires du trapèze et de Simpson. (2) Dans cette question, on cherche à trouver une méthode d’intégration élémentaire plus précise que la méthode (2). Soit a+b m=2,(4) (a) Montrer que, pour toute fonctionfde classeCksur[a, b], on a maf(x)dx=I(a, m, f 2) +kα+1hk+1f(k)(ξ1),ξ1[a, m],(5) et mbf(x)dx=I(m, b, f 2) +kα+1hk+1f(k)(ξ2),ξ2[m, b].(6) (b) En déduire que, si on choisitCvérifiant
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C=2k(7) , alors, il existe un réelβtel que, pour toute fonctionfde classeCk+1sur[a, b], on ait : baf(x)dx=I(a , b, f) +E(a, b, f),(8) I(a, b, f=1)+1CI(a, b, f) +CI(a, m, f) +I(m, b, f),(9) et E(a, b, f)βhk+2supf(k+1)(x).(10) x[a,b]On fera une combinaison linéaire des équations (2), (5) et (6) et on écrira f(k)(ξ) =fk(a) + (ξa)fk+1(η)ξ[a, b], f(k)(ξ1) =fk(a) + (ξ1a)fk+1(η1)η1[a, b], f(k)(ξ2) =fk(a) + (ξ2a)fk+1(η2)η2[a, b]. Printemps 2007 UV MT44 : examen médian du 20 avril 2007
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(c) Nous avons donc une nouvelle approximation deabfdéfinie par (8) et (9). Cette nouvelle approximation est définie à partir de l’approximationI(a, b, f). Que représente la nouvelle expressionE(a, b, f)et quel est l’avantage de (10) par rapport à (3) ?
(3) (a) En reprenant les résultats de la question 1, montrer que, si on part de la méthode du trapèze, alors on a : k= 2etI(a, b, f 6) =hf(a) + 4fa+2b+f(b),(11) et que, si on part de la méthode de Simpson, alors on a : k= 4etI(a, b, f 9) =h07f(a) + 32fa+h4+ 12fa+2h+ 32fa+34h+ 7f(b).(12)
(b) Que reconnaissez-vous dans la méthode (11) ? La majoration (10) est-elle alors cohérente avec celle vue en cours ? (4)Question facultative Soit la méthode de quadrature élémentaire suivante : b n af(x)dx=0Wif(xi) +En(a, b, f),(13) i= (Wi)0insontn+ 1réels,(xi)0insontn+ 1réels deux à deux distincts de[a, b]et En(a, b, f)est l’erreur commise. Nous disons ici qu’une méthode élémentaire de quadrature du type(13)est dite d’ordremsi elle est exacte (c’est-à-dire siEn(a, b, f) = 0) pour tout polynôme de degré au plusm.
(a) Pourquoi la méthode (12) est elle une méthode de quadrature du type (13) ?
(b)A priori ?, quel est l’ordre de cette méthode
(c) Montrer que la méthode (12) est d’ordre 5. Pour cela, on pourra supposer, pour simplifier1 quea=1et queb= 1est nulle pour un polynôme de degré. Pour montrer que l’erreur 5, on montrera qu’il suffit d’étudier l’erreur commise pourx→x5et on raisonnera par symétrie, sans faire aucun calcul. (d) Quel type de majoration similaire à (10)(aveck= 4) peut on supputer ?
(e) On pose, pour tout couple de réelA < Bet pour tout entier non nulN,
x0=A;xN=B;i∈ {0, ..., N}, xi=A+ih,h=NB.A
1En fait, on peut montrer que les calculs fait sont équivalents.
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Montrer que la méthode composée sur l’intervalle[A, B]associée à la méthode élémentaire (12) s’écrit : BAf(x)dx9h0k1f(A) +f(B)+k2Ni=11f(xi) +k3Ni=10fxi+h4+k4Ni=01fxi+34h+k5iN=01fxi+h2,(15) k1,k2,k3,k4etk5, sont des réels à déterminer.
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