Bac mathematiques 2006 s

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Durée:4heures[BaccalauréatSPolynésieseptembre2006\EXERCICE 1 4points³ ´→− →−1. Leplancomplexeestrapportéàunrepèreorthonormaldirect O, u , v .Onposea=3, b=5−2ietc=5+2i.OndésigneparA,BetClespointsd’affixesrespectives a, b etc.Soit M unpointd’affixez duplan,distinctdespointsAetB.a. MontrerqueABCestuntrianglerectangleisocèle.b. Donneruneinterprétationgéométriquedel’argumentdunombrecom-z−3plexe .z−5+2iz−3c. Déterminer alors l’ensemble des points M d’affixe z tels quez−5+2isoitunnombreréelstrictementnégatif.2. SoitΓlecerclecirconscritautriangleABCetΩlepointd’affixe2−i.πa. Donnerl’écriturecomplexedelarotationr decentreΩetd’angle− .2′b. Déterminer l’imageΓ deΓ par la rotation r. Déterminer une équation′paramétriquedeΓ .EXERCICE 2 4pointsUneurnecontient4boulesblancheset2boulesnoiresindiscernablesautoucher.1. On effectue trois tirages successifs au hasard d’une boule selon la procéduresuivante : après chaque tirage si la boule tirée est blanche, on la remet dansl’urne et si elle est noire, on ne la remet pas dans l’urne. On désigne par Xla variablealéatoire égale au nombre de boules noires obtenues à l’issue destroistirages.Onpourras’aiderd’unarbrepondéré.a. Quellessontlesvaleursprisespar X ?b. CalculerP(X =0).c. OnseproposededéterminermaintenantP(X =1).– Montrerquela probabilitéquela seule boulenoiretiréesoit obtenue8ausecondtirageestégaleà .45– Enremarquantquelaseuleboulenoirepeutêtretiréesoitaupremier,soitaudeuxième,soitautroisièmetirage ...

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Durée : 4 heures

[Baccalauréat S Polynésie septembre 2006\

E X E R C IC E points1 4 ³ ´ −→−→ 1.Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal directO,u,v. On posea=3,b=5−2i etc=5+2i. On désigne par A, B et C les points d’affixes respectivesa,betc. SoitMun point d’affixezdu plan, distinct des points A et B. a.Montrer que ABC est un triangle rectangle isocèle. b.Donner une interprétation géométrique de l’argument du nombre com z−3 plexe . z−5+2i z−3 c.Déterminer alors l’ensemble des pointsMd’affixeztels que z−5+2i soit un nombre réel strictement négatif. 2.SoitΓle cercle circonscrit au triangle ABC etΩle point d’affixe 2−i. π a.Donner l’écriture complexe de la rotationrde centreΩet d’angle−. 2 ′ b.Déterminer l’imageΓdeΓpar la rotationr. Déterminer une équation ′ paramétrique deΓ.

E X E R C IC E 2 4points Une urne contient 4 boules blanches et 2 boules noires indiscernables au toucher. 1.On effectue trois tirages successifs au hasard d’une boule selon la procédure suivante : après chaque tirage si la boule tirée est blanche, on la remet dans l’urne et si elle est noire, on ne la remet pas dans l’urne. On désigne parX la variable aléatoire égale au nombre de boules noires obtenues à l’issue des trois tirages. On pourra s’aider d’un arbre pondéré. a.Quelles sont les valeurs prises parX? b.CalculerP(X=0). c.On se propose de déterminer maintenantP(X=1). – Montrerque la probabilité que la seule boule noire tirée soit obtenue 8 au second tirage est égale à. 45 – Enremarquant que la seule boule noire peut être tirée soit a u premier, soit au deuxième, soit au troisième tirage, calculerP(X=1). 2.On reprend l’urne dans sa composition initiale : 4 boules blanches et 2 boules noires indiscernables au toucher. Soitnun entier naturel supérieur ou égal à 3. On effectue maintenantntirages successifs au hasard d’une boule dans l’urne selon la même procédure : après chaque tirage, si la boule tirée est blanche, on la remet dans l’urne et si elle est noire, on ne la remet pas dans l’urne. Soitkun entier compris entre 1 etn. Soit N l’évènement : « lakième boule tirée est noire et toutes les autres sont blanches ». Soit A l’évènement : «on obtient une boule blanche dans chacun desk−1 premiers tirages et une boule noire aukième ». Soit B l’évènement : « on obtient une boule blanche dans chacun des (n−k) derniers tirages ». CalculerP(A),P A (B) etP(N).