Baccalaureat 2003 mathematiques scientifique recueil d'annales

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[BaccalauréatS2003\ L’intégraledeseptembre2002à juin2003 Pourunaccèsdirectcliquezsurlesliensbleus Antilles-Guyaneseptembre2002 ..................... 3 Franceseptembre2002 ............................... 7 Polynésiespécialitéseptembre2002 .................11 Nouvelle-Calédonienovembre2002 .................14 AmériqueduSuddécembre2002 ....................17 Pondichéryavril2003 ................................20 Libanjuin2003.......................................25 AmériqueduNordjuin2003 .........................28 Antilles-Guyanejuin2003 ........................... 32 Asiejuin2003 ........................................35 Centresétrangersjuin2003 ..........................39 Francejuin2003......................................43 LaRéunionjuin2003 .................................48 Polynésiejuin2003 .................................. 52BaccalauréatS année2003 2[BaccalauréatSAntilles-Guyane\ septembre2002 EXERCICE 1 enseignementobligatoire 11. Soitlasuite(u )définieparu = etparlarelationderécurrence:n 1 2 1 1 u = u + .n+1 n6 3 2a. Soitlasuite(v )définiepourn>1parv =u − ;montrerque(v )estn n n n5 unesuitegéométriquedontonpréciseralaraison. b. Endéduirel’expressiondev enfonctionden puiscelledeu .n n 2. On considère deux dés, notés A et B. Le dé A comporte trois faces rouges et trois faces blanches. Le dé B comporte quatre faces rouges et deux faces blanches. On choisit un dé au hasard et on le lance : si on obtient rouge, on garde le même dé,si on obtient blanc,on changededé. Puis onrelancele déet ainsi desuite. Ondésignepar A l’évènement «onutiliseledéAaun-ièmelancer»,n par A l’évènement contrairede A ,n n parR l’évènement «onobtientrougeaun-ièmelancer»,n parR l’évènement contrairedeR ,n n par a etr lesprobabilitésrespectivesde A etR .n n n n a. Déterminer a .1 b. Déterminerr .Pourcela,onpourras’aiderd’unarbre.1 ³ ´ c. Enremarquantque,pourtoutn>1,R =(R ∩R )∪ R ∩R ,montrern n n n n 1 2quer =− a + .n n6 3 d. Montrerque,pourtoutn>1,³ ´ A =(A ∩R )∪ A ∩R .n+1 n n n n e. Endéduireque,pourtoutn>1, 1 1a = a + ,puisdéterminerl’expressiondea enfonctionden.n+1 n n6 3 f. Endéduirel’expressionder enfonctiondenpuislalimiteder quandn n n tendvers+∞. EXERCICE 2 enseignementobligatoire³ ´→− →− Dansle plan complexe rapport au repèreorthonormal direct O, u , v (unité gra- phique:5cm),onconsidèrelespointsAetBd’affixesrespectives 1 1 z =1+i et z =− + i.A B 2 2 Ondésignepar(C)lecercledecentreOetderayon1. 1. Donnerlaformetrigonométriquedez etcelledez .A B iα2. Danslasuitedel’exercice,M désigneunpointde(C)d’affixee , α∈[0; 2π]. Onconsidèrel’application f qui toutpoint M de(C),associe f(M)=MA×MB. a. Montrer,pourtoutα∈R,l’égalitésuivante: i2α iαe −1=2ie .BaccalauréatS année2003 ¯ µ ¶ ¯¯ ¯1 3i2α iα¯ ¯b. Montrerl’égalitésuivante: f(M)= e −1− + i e .¯ ¯2 2s µ ¶21 3 c. Endéduirel’égalitésuivante: f(M)= + − +2sinα . 4 2 3. a. Enutilisant2c,montrerqu’ilexistedeuxpoints M de(C),dontondon- neralescoordonnées,pourlesquels f(M)estminimal.Donnercetteva- leurminimale. b. En utilisant 2 c, montrer qu’il existe un seul point M de (C), dont on donnera les coordonnées, pour lequel f(M) est maximal. Donner cette valeurmaximale. EXERCICE 2 enseignementdespécialité Dansleplan,onconsidèredeuxsegments[AC]et[BD]telsque³ ´−á→ −→ π AC=BD et AC, BD =− . 2 OndésigneparMlemilieude[AC]etparNceluide[BD].Onappelle(C ),(C ),(C )1 2 3 et(C )lescerclesdediamètresrespectifs[AB],[BC],[CD]et[DA].4 Onpourras’aiderdelafigureci-jointe. 1. a. Soit r larotationqui transforme AenBetCen D.Quelest l’angle der ? MontrerquelecentreIder appartientauxcercles(C )et(C ).1 3 ′ ′b. Soitr larotationquitransformeAenDetCenB.Quelestl’angleder ? ′MontrerquelecentreJder appartientauxcercles(C )et(C ).2 4 c. Quelle est la nature du quadrilatère INJM? On désigne par P et R les points diamètralement opposés à I sur, respectivement (C ) et (C ) et1 3 parQetSlespointsdiamètralementopposésàJsur,respectivement(C )2 et(C ).4 p π 2. Soits lasimilitudedirectedecentreI,derapport 2etd’angle . 4 a. Quellessontlesimagespars despointsD,N,B? b. EndéduirequeJestlemilieude[PR]. Antilles-Guyane 4 septembre2002BaccalauréatS année2003 P (C )1 (C )4 A S B N J I (C )2D M (C )3 Q R C PROBLÈME Soit f lafonctiondfiniesur[0;1]par: f(0) = 0 f(1) = 0 f(x) = (lnx)×ln(1−x), pour x∈]0; 1[ oùlndésignelafonctionlogarithmenépérien. OnnoteC sacourbereprésentative dansunrepèreorthonormal(unitégraphique:10cm). Onadmetque lim f(x)=0et lim f(x)=0,ainsiquelerésultatsuivant: x→0 x→1 αpour α>0, limx lnx=0. x→0 PartieA-Étudedelafonctionf ln(1−x) 1. a. Déterminerlalimitequand x tendvers0del’expression . x f(x) b. Endéduirelalimitequandx tendvers0del’expression ;quepeut- x onendéduirepourlacourbeC ?¸ · µ ¶ µ ¶ 1 1 1 1 2. Montrerquepourtoutx∈ − ; , f −x = f +x . 2 2 2 2 Quepeut-onenconclurepourC ? 3. Soitϕlafonctiondéfiniesur]0;1[par: ϕ(x)=(1−x)ln(1−x)−xlnx. 2x−1′ ′′a. Déterminerϕ (x),puismontrerl’égalitéϕ (x)= ;endéduireles x(1−x) ′variationsdeϕ sur]0;1[. ′b. Montrerqueϕ s’annuleendeuxvaleursα etα sur]0;1[(onnecher-1 2 ′cherapasàcalculercesvaleurs).Donnerlesignedeϕ sur]0;1[. Antilles-Guyane 5 septembre2002BaccalauréatS année2003 c. Déterminerlalimitequandx tendvers0del’expressionϕ(x)etlalimiteµ ¶ 1 quand x tendvers1deϕ(x).Calculerϕ .Endéduirelesignedeϕ(x) 2 sur]0;1[. ′4. a. Montrerque f (x)amêmesignequeϕ(x)sur]0;1[. b. Donnerletableaudevariationsde f. c. Montrerque,pourtoutx∈]0; 1[,lesinégalitéssuivantessontvraies: 20<(lnx)×ln(1−x)6(ln2) . d. TracerC. PartieB-Encadrementd’uneintégrale¸ · 1 Pourt∈ 0; ,onpose: 2 1 1 1Z Z Z 2 2 22I (t)= xlnxdx, I (t)= x lnxdx, I(t)= f(x)dx.1 2 t t t 1. a. Àl’aided’intégrationsparparties,montrerque: 2ln2 1 1 t2I (t)=− − − t lnt+ ;1 8 16 2 4 3 3ln2 1 t lnt t I (t)=− − − + .2 24 72 3 9 b. DéterminerleslimitesdeI (t)etdeI (t)quandt tendvers0.1 2¸ · 1 2. Soitg eth lesfonctionsdéfiniessur 0; par: 2· ¸2 2x x g(x)=− x+ et h(x)=g(x)− . 2 2¸ · 1 a. Étudiersur 0; lesvariationsdelafonction 2 x7!ln(1−x)−g(x).¸ · 1 b. Endéduireque,pourtoutx∈ 0; : 2 ln(1−x)6g(x). ¸ · 1 c. Parunprocédéanalogue,montrerquepourtout x∈ 0; : 2 ln(1−x)>h(x).¸ · 1 d. Endéduireunencadrementde f(x)sur 0; . 2 1 3. a. Montrerque−I (t)− I (t)6I(t)6−I (t)−I (t).1 2 1 22 b. EnsupposantqueI(t)admetunelimitenoteℓquandt tendvers0,don- nerunencadrementdeℓ. Antilles-Guyane 6 septembre2002[BaccalauréatSFranceseptembre2002\ EXERCICE 1 4points Commun touslescandidats Un carré de côté 20 cm est partagé selon les10zonessuivantes: – undisqueDderayon1cm, – 8 secteurs S , S , ..., S de même aire S S1 2 8 3 2 délimitésparlesfrontièresdudisqueD ′ S S4 1et du disque D de même centre et de rayon9cm, ′– unezoneRentreledisqueD etlebord S S5 8 ducarré. On place un point aléatoirement dans le S S6 7 carré. La probabilité de placer le point Rdans une zone quelconque du carré est proportionnelleàl’airedecettezone. 1. a. Déterminerlaprobabilitép(D)pourquelepointsoitplacédansledisque D. b. Déterminerlaprobabilité p(S )pourquelepointsoitplacédanslesec-1 teurS .1 2. Pourcettequestion2.,onutiliseralesvaleursapprochéessuivantes: p(D)=0,008etpourtoutk appartenantà{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}, p(S )=0,078 5.k Àcettesituationaléatoireestassociélejeusuivant: – unpointplacédansledisqueDfaitgagner10euros; – un point placé dans le secteur S fait gagner k euros pour tout k apparte-k nantà{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}; – unpointplacédanslazoneRfaitperdre4euros. Onnote X lavariablealatoireégaleaugainalgébriqueobtenu. a. Calculerlaprobabilitép(R)pourquelepointsoitplacédanslazoneR. Calculerl’espérancedeX. b. On joue deux fois desuite. On a doncplacé deux points de manière in- dépendantedanslecarré.Calculer laprobabilitéd’obtenirungaintotal positifounul. c. Soitnunentiernaturelsupérieurouégalàdeux.Onjouen foisdesuite. Onadoncplacén pointsdemanièreindépendantedanslecarré. Calculerlaprobabilitép d’obteniraumoinsunpointplacédansledisquen D. Déterminerlapluspetitevaleurden telquep >0,9.n EXERCICE 2 5points Candidatsn’ayantpassuivil’enseignementdespécialité ³ ´→− →− Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct O, u , v d’unité graphique4cm. Onnote AetBles points d’affixesrespectives 1eti.Àtoutpoint M, distinctdeAet ′d’affixez,estassociélepoint M d’affixeZ définiepar: (1−i)(z−i) Z= . z−1BaccalauréatS année2003 ′1. a. Calculerl’affixedupointC associéaupointCd’affixe−i. b. PlacerlespointsA,BetC. 2. Soitz=x+iy oùx et y désignentdeuxnombresréels. a. Montrerl’égalité: 2 2 2 2(x−1) +(y−1) −1 x +y −1 Z= − . 2 2 2 2(x−1) +y (x−1) +y b. Déterminerl’ensembleEdespoints M d’affixez telleque Z soitréel. c. Déterminerl’ensemble Fdespoints M d’affixez tellequeRe(Z)soitné- gatifounul. 3. a. Écrirelenombrecomplexe(1−i)sousformetrigonométrique. b. SoitM unpointd’affixez,distinctdeAetdeB.Montrerque: (1−i)(z−i) ∈ R∗sietseulements’ilexisteunentierk telque z−1³ ´−−→ −−→ π MA, MB = +kπ. 4 ³ ´−−→ −−→ π c. Endéduirel’ensembledespoints M vérifiant MA, MB = +kπ. 4³ ´−−→ −−→ π d. Déterminerl’ensembledespoints M vérifiant MA, MB = +2kπ. 4 EXERCICE 2 5points Candidatsayantsuivil’enseignementdespécialité C B E3 D A E E A E1 2 1 4 OnconsidèreunrectangledirectABCDvérifiant:AB=10cmetAD=5cm. 1. Faireunefigure:construireABCD,puislesimagesrespectivesM,NetPdeB, π CetDparlarotationr decentreAetd’angle− . 2 ′ ′ ′2. a. Construire le centreΩ de la rotation r qui vérifie r (A) = N et r (B) = P. ′Déterminerl’angleder . ′b. Montrerquel’imagedeABCDparr estAMNP. c. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transforma- −1 ′tionr ◦r . 3. OnconsidèrelesimagessuccessivesdesrectanglesABCDetAMNPparlatrans-−−→ lation de vecteur DM. Sur la demi-droite [DA), on définit ainsi la suite de points (A ) vérifiant,encm, DA =5+15k.Sur lamêmedemi-droite,onk k>1 k considèrelasuitedepoints(E ) vérifiant,encm,DE =6,55n.n nn>1 a. Déterminer l’entier k tel que E appartienne à [A ,A ]. Que vaut la120 k k+1 longueur A E encm?k 120 France 8 septembre2002 × × ×BaccalauréatS année2003 b. Oncherchedanscettequestionpourquellevaleurminimalen lepoint0 E estconfonduavecunpoint A .n k0 MontrerquesiunpointE estconfonduavecunpoint A alorsn k 131n−300k=100. Vérifierquelesn