Baccalauréat C juin 1975 Dahomey

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat C juin 1975 Dahomey \ EXERCICE 1 Soit, dans un espace affine A trois points non alignés A, B, C. On désigne par G1 le barycentre des points A, B, C affectés des coefficients 3, 2,?1 respectivement, par G2 celui des points A, B, C affectés des coefficients 2, 1, 1 respectivement. 1. Calculer ?????G1G2 en fonction de ???AB et ???AC . En déduire que G1 6=G2. 2. À tout point M de A , on fait correspondre le point M1 tel que : ????? MM1 = 3???MA +2???MB ????MC . et le point M2 tel que : ????? MM2 = 2???MA +???MB +???MC . a. Montrer que si M décrit une droite de A , il en est de même de M1. b. Montrer que le vecteur ??????M1M2 reste constant lorsque M décrit A . EXERCICE 2 1. Soit a ?Z. Montrer que l'équation 6y ?3x = a admet des solutions dans Z2 si et seulement si a est multiple de 3. 2. Résoudre dans Z2 les équations suivantes : 6y ?3x = 5, 6y ?3x = 3 3. En déduire les solutions dans Z2 de l'équation : (6y ?3x?4)(2y ?3x+4) = 1. PROBLÈME Partie A Soit E un espace vectoriel de dimension 2, muni d'une base (?? ı , ??? ) .

• courbe représentative de f1


• espace vectoriel de dimension


• vecteurs ??ı


• ????? mm1


• aire dudomaine intérieur du contour fermé

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 1975
• Nombre de lectures: 14
• Langue: Français

Extrait

Durée : 4 heures

[Baccalauréat C juin 1975 Dahomey\

E X E R C IC E 1 Soit, dans un espace affineAtrois points non alignés A, B, C. On désigne par G 1 le barycentre des points A, B, C affectés des coefficients 3, 2,−1 respectivement, par G 2 celui des points A, B, C affectés des coefficients 2, 1, 1 respectivement. −−−→−→−→ 1.Calculer G 1 G 2 en fonction de ABet AC . En déduire que G 1 6=G 2 . 2.À tout pointMdeA, on fait correspondre le pointM 1 tel que : −−−→ −−→ −−→−−→ M M 1 =3MA+2MB−MC . et le pointM 2 tel que : −→−−−→−→−−−→− M M 2 =2MA+MB+MC . a.Montrer que siMdécrit une droite deA, il en est de même deM 1 . −−−−→ b.Montrer que le vecteurM 1 M 2 reste constant lorsqueMdécritA.

E X E R C IC E 2 2 1.Soita∈Z. Montrer que l’équation 6y−3x=aadmet des solutions dansZsi et seulement siaest multiple de 3. 2 2.Résoudre dansZles équations suivantes :

6y−3x=5, 6y−3x=3 2 3.En déduire les solutions dansZde l’équation :

P R O B L È M E

(6y−3x−4)(2y−3x+4)=1.

Partie A ³ ´ −→−→ Soit E un espace vectoriel de dimension 2, muni d’une baseı,. ³ ´ −→−→ 1.Soitgl’endomorphisme de E dont la matrice dans la baseı,est :   3 1 2 2 M=   1 1 − 2 2 ³ ´ −→−→ a.Montrer que les vecteursıetg ısont linéairement indépendants. ³ ³´´ −→−→ b.Donner la matrice degdans la baseı,g ı.

Terminale C

c.Déterminerg◦g−2g. En déduire que :

A. P. M. E. P.

−1 g=2I E −g. où I E désigne l’application identique de E. 2.Soitϕun endomorphisme de E tel qu’il existe deux vecteurs linéairement in −→−→ dépendantsuetvtels que :   ³ ´ −→−→ v=ϕu µ ¶ ³ ´ a c →−→− SoitN=la matrice deϕdans la baseu,v. b d a.Calculeraetb. b.Montrer qu’il existeλetµréels, uniques, tels que

2 ϕ+λ.ϕ+µI E =0 E . 2 ϕ=ϕ◦ϕ I E application identique de E 0 E application nulle de E vers E 3.Soit un endomorphisme de E tel qu’il existeλetµréels tels que :

2 ϕ+λ.ϕ+µI E =0 E . −1 a.Siµ6=0, montrer queϕadmet une application réciproqueϕ, qu’on déterminera. b.Siµ=0, montrer queϕn’est pas bijective ou queϕest une homothétie vectorielle. Partie B Soit F l’espace vectoriel des fonctions numériques définies surR. Soit E l’ensemble des fonctionsfdéfinies par : x x f(x)=a(x+1)e+b(x−1)e 1.tionsMontrer que E est un sousespace vectoriel de F, dont les foncf 1 etf 2 définies par :

x x f 1 (x)=(x+1)e etf 2 (x)=(x−1)e constituent une base. ′ ′ 2.Soitϕl’application définie sur E parϕ(f)=f(ffonction dérivée def). Montrer queϕest un endomorphisme de E. Préciser sa matrice dans la base ¡ ¢ f 1 ,f 2 . ¡ ¢ 3. a.Montrer queϕf 1 etf 1 sont linéairement indépendants. b.En déduire qu’il existeλetµ, réels, uniques, tels que :

2 ϕ(f)+λϕ(f)+µf=0

pour toutf∈E. c.Déterminerλetµ. d.Montrer à l’aide des résultats obtenus en A queϕest bijective et calculer −1 ϕen fonction deϕ. En déduire une primitive def 1 .

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Terminale C

A. P. M. E. P.

4. a.Étudier les variations et tracer la courbe représentative def 1 dans un repère orthonormé. b.Calculer l’aire du domaine intérieur du contour fermé formé par la courbe représentative def 1 , l’axe des abscisses et la droite d’équation :x=α, α∈R(2 cas à considérer),.

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