Baccalauréat C juin 1982 Poitiers

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat C juin 1982 Poitiers \ EXERCICE 1 4 points 1. a. En supposant que a = 9p+4q et b = 2p+q , démontrer que les entiers a et b d'une part ; p et q d'autre part ont le même PGCD. b. Démontrer que les entiers 9p+4 et 2p+1 sont premiers entre eux. Quel est leur PPCM? 2. Déterminer le PGCDdes entiers relatifs 9p+4 et 2p?1 en fonction des valeurs de p. EXERCICE 2 4 points Unplan affine euclidienorienté est rapporté à un repère orthonormédirect ( O, ??u , ??v ) . On se propose de déterminer l'ensemble E des points M de ce plan dont les affixes z = x+ iy (x et y réels) vérifient (1+ i)z?2i]= 2. Les deux questions proposent chacune une méthode et peuvent être résolues de façon indépendante l'une de l'autre. 1. Calculer le carré dumodule du complexe (1+i)z?2i en fonction des coordon- nées (x ; y) de M . Déterminer E par une équation cartésienne. Reconnaître E puis le dessiner. 2. On note s la similitude directe de centre O, de rapport p2, d'angle de mesure pi 4 et t la translation de vecteur ?2 ?? v .

• matrice de l'endomorphisme ?


• origine du repère


• droite ∆


• entier


• translation de vecteur ?2


• coordonnées


• carré dumodule du complexe


• pgcddes entiers relatifs

Sujets

• Entier relatif
• Coordonnées

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 1982
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• Langue: Français

Extrait

Durée : 4 heures

[Baccalauréat C juin 1982 Poitiers\

E X E R C IC E points1 4 1. a.En supposant quea=9p+4qetb=2p+q, démontrer que les entiersa etbd’une part ;petqd’autre part ont le même PGCD. b.Démontrer que les entiers 9p+4 et 2p+1 sont premiers entre eux. Quel est leur PPCM ? 2.Déterminer le PGCD des entiers relatifs 9p+4 et 2p−1 en fonction des valeurs dep.

E X E R C IC E points2 4 ³ ´ −→−→ Un plan affine euclidien orienté est rapporté à un repère orthonormé directO,u,v. On se propose de déterminer l’ensemble E des pointsMde ce plan dont les affixes z=x+iy(xetyréels) vérifient

(1+i)z−2i]=2. Les deux questions proposent chacune une méthode et peuvent être résolues de façon indépendante l’une de l’autre.

1.Calculer le carré du module du complexe (1+i)z−2i en fonction des coordon nées (x;y) deM. Déterminer E par une équation cartésienne. Reconnaître E puis le dessiner. p 2.On notesla similitude directe de centre O, de rapport2, d’angle de mesure π −→ ettla translation de vecteur−2v. 4 a.Un pointMayant pour affixez, calculer l’affixe du points(M) puis l’af fixe du pointt◦s(M). ¯ ¯ ′ ′′ b.SoitCl’ensemble des pointsMd’affixeztels quez=2. Reconnaître Cet le dessiner. Déterminer l’ensemblet◦s(E) ; en déduire l’ensemble E.

P R O B L È M E 12 points ³ ´ −→−→ Un plan affine est rapporté à un repèreO,ı,orthonormé ;pour exécuter les figures on prendra pour unité de longueur 2 cm. On donne le point A de coordonnées (1 ; 1). Partie A 1.αétant un réel donné non nul, soit D la droite d’équationx=α. Montrer qu’il existe une application affinef α , et une seule, que l’on détermi nera, qui satisfait aux deux conditions −→−−−− − − → f α (0)=A et∀M∈DM f α (M)=ı. 2.On considère l’applicationfqui, au pointMde coordonnées (x;y) fait cor ¡ ¢ ′ ′′ respondreM=f(M) de coordonnéesx;ytelles que

′ ′ x=x+1 ety=x+y+1.

Terminale C

A. P. M. E. P.

Vérifier quef=f α dans le casα= −1. Montrer quefest une bijection du plan affine. Y a+il des points invariants parf? Quelle est la matrice de l’endomorphisme ϕassocié àf? ³ ´³ ´ −→−→−→−→ 3. a.Vérifier que, quel que soit le réelλ, les vecteursı+λ etϕı+λ  forment une famille libre. b.SoitΔune droite affine du plan : donner une condition nécessaire et suf fisante pour qu’elle soit parallèle à son imagef(Δ) ? 4.Chercher l’imagef(Δ) de la droiteΔdans chacun des cas suivants : −−−→ ′ a.Δa pour équationx=k. Montrer que, siMappartientΔ, le vecteurM M −→ est égal à un vecteur constantu k dont on donnera les coordonnées. ′ b.Δa pour équationy=k. c.Δa pour équationy=t x; calculer dans ce cas les coordonnées du point P d’intersection des droitesΔetf(Δ) en fonction det. Quel est l’en sembleΠdécrit par P lorsquetdécritR? Figure: représenterΠ. Tracer les droitesΔetf(Δ) dans le cas des droites L ayant respectivement pour équationx= −1,y= −1,y= −2x. 5.Faire une nouvelle figure. On appelleM 0 l’origine du repère et l’on pose

⋆ M 1 =f ( M 0 ) et∀n∈N,M n =f ( M n−1 ) . ¡ ¢ Soitx n ;y n les coordonnées deM n . Calculer les coordonnées deM 1 ,M 2 ,M 3 . Exprimerx n ety n en fonction dex n−1 ety n−1 . En déduirex n ety n en fonction den. x(x+1) Vérifier que∀n∈N,M n appartient à la courbeCd’équationy=. Re 2 connaîtreCet la dessiner. 6. a.Soitgune application continue deRdansR. En utilisant une primitive Gdeg, établir l’égalité Z Z λ 2 λ 2 +1 g(x) dx=g(x−1) dx. λ 1 λ 1 +1 λ 1 etλ 2 réels donnés. b.Si une courbeΓa pour équationy=h(x), montrer que son imagef(Γ) a pour équationy=h(x−1)+x. Quelle est l’image de la courbeCdu 5. ? c.Cas particulier : soitE n la région du plan comprise entre la courbeCet le segment [M n−1 M n ] ; hachurer sur la figure les régionsE 1 ,E 2 ,E 3 ,E 4 . Déduire du a. et du b. cidessus que l’aire deE n est indépendante den. Quelle est sa valeur ? Partie B On considère l’applicationh 0 deRdansRdéfinie par

−x h 0 (x)=e−1; soitΓsa représentation graphique. Montrer que son imagef(Γ) est la représentation de l’applicationh 1 deRdansRdéfinie par

Poitiers

−x h 1 (x)=e−1+x.

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Terminale C

A. P. M. E. P.

Étudier les applicationsh 0 eth 1 ; représenter sur la même figureΓetf(Γ), en dessi nant soigneusement l’asymptote de chacune d’elles. λétant un réel, supérieur à 1, calculer en fonction deλl’aireA(λ) de la partie du plan dont les frontières sont les droitesx=1 etx=λ, la courbef(Γ) et son asymp tote. Montrer que, lorsqueλtend vers+∞,A(λ) a une limite à déterminer.

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