Baccalauréat C Lille septembre 1983

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat C Lille septembre 1983 \ EXERCICE 1 Soit (?) et (??) deux cercles de centreOet de rayons respectifsR etR? avec 0

• composantes du vecteur vitesse


• courbe d'équation


• lieux géométriques des milieux des côtés du triangle abc


• centre de gravité du triangle abc

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 septembre 1983
• Nombre de lectures: 33
• Langue: Français

Extrait

Durée : 4 heures

[Baccalauréat C Lille septembre 1983\

E X E R C IC E 1 ′ ′′ Soit (Ω) et (Ω) deux cercles de centre O et de rayons respectifsRetRavec 0<R<R. ′ ′ Soit P un point fixé de (Ω) ; à chaque point A de (Ω) distinct de P on associe la droite passant par P et orthogonale à (PA), qui coupe (Ω) en B et C.

1.On note G le centre de gravité du triangle ABC. Montrer que G est un point fixe du segment [OP). 2.Trouver les lieux géométriques des milieux des côtés du triangle ABC.

E X E R C IC E 2 ³ ´ −→−→ Dans le plan muni d’un repère orthonorméO,ı,, on considère l’applicationϕ ′ ′′ qui au pointMde coordonnées (x;y) associe le pointMde coordonnées (x;y) telles que  3 1 1  ′  x= −x−y+ 4 4 4 1 3 1  ′  y= −x+y+ 4 4 4 1.Montrer qu’il s’agit d’une application affine bijective. Définir son application −1 réciproqueϕ. 2. a.Démontrer que l’ensemble des points invariants parϕest une droite D O que l’on précisera. −−−→ ′ b.Vérifier que le vecteurM Ma une direction fixe et que le symétrique de ′ Mpar rapport àMappartient à D O . ′ c.En déduire une construction simple deMconnaissant le pointM. Préciser la nature deϕ. 3.Soit (E) la courbe d’équation

2 2 5x+5y−6x y−10x+6y−11=0.

Déterminer une équation de l’image de (E) parϕ. Quelle est la nature de cette courbe image ?

P R O B L È M E ³ ´ −→−→ Soit P le plan orienté muni d’un repère orthonormé directO,ı,.

Partie A Soitfl’application numérique d’une variable réellexdéfinie sur [0 ; 8] par ¡ ¢ 3/2 2/3 f(x)=4−x. SoitA 1 sa courbe représentative dans P. 1.Démontrer quefest continue sur [0 ; 8]. Calculer f(O) et f(8). f(x)  8 20 Montrer que lim =  00. xa x

Terminale C

A. P. M. E. P.

2.La fonctionf? Que peuton conclure pour laestelle dérivable à droite en 0 courbe dl en son point d’abscisse nulle ? 3.Déterminer la dérivée defsur ]0 ; 8[ ; en déduire les variations defsur [0 ; 8]. 4. a.Démontrer quefréalise une bijection de [0 ; 8] sur [0 ; 8]. −1 b.Déterminer son application réciproquef. Que remarquezvous? En déduire que la courbe dl admet sur [0 ; 8] la droite d’équation, y = x comme axe de symétrie. Que peuton en déduire sur la tangente à dl en son point d’ordonnée nulle ? c.on de .011Écrire une équation de la tangente à dl au point d’intersecti avec la droite d’équation y = x. ³ ´ −→−→ 5.Tracer la courbe dl dansO,ı,. Partie B SoitAla courbe d’équation ³ ´ 3 3 −→−→ 2 2 y+x=4 dans O,ı,. Soits 1 ,s 2 ,s 3 ,s 4 les symétries orthogonales par rapport aux droites d’équations res pectivesy=0,x=0,y=x,y= −x. 1.Vérifier queAest globalement invariante par chacune de ces symétries. En déduire queAest globalement invariante dans trois rotations distinctes de centre O et d’angle non nul ; préciser les angles de ces rotations. 2.Démontrer que l’identité de P (notée Id),s 1 ,s 2 ,s 3 ,s 4 et les trois rotations trou vées précédemment constituent un groupe pour la composition des applica tions. ′ 3.SoitAl’ensemble des pointsMdeAde coordonnées (x;y) tels que 0 6 x 6 8 ety > 0. ′ Démontrer queA=D 1 . ³ ´ −→−→ En déduire la représentation graphique deAdans O,ı,. Partie C Dans cette partie, on prend un point C situé sur le cercle de centre O de rayon 8, tel ³ ´h i −→−→ π que l’angle de vecteursıait une mesure, OCt.appartenant à l’intervalle0 ; 2 On désigne respectivement par A, B et M les projections orthogonales de C sur les droites Ox, Oyet (AB). −→ 1.Vérifier que ° AB ° est constante. 2.Montrer qu’une équation de la droite (AB) est

xsint+ycost−8 sintcost=0. Démontrer que les coordonnées deMsont   3  x=8 cost  3  y=8 sint h i π 3.Préciser la trajectoire deMquandtdécrit l’intervalle0 ;. 2

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Terminale C

A. P. M. E. P.

−→ 4.Calculer les composantes du vecteur vitesseV(t) deMà l’instantt; en dé duire le réel Z π −→ 2 L= ° V(t) ° dt. 0 i h π 5.On suppose dans cette question quet0 ;appartient à l’intervalle. 2 a.Déterminer une équation cartésienne de la tangente enMà la trajec toire. Reconnaître cette droite. 3 3 b.Linéariser sinxet cosx. Exprimer l’affixe deMen fonction de α=cost+i sint. c.Soit I le barycentre des points O ; A ; B affectés respectivement des coef ficients  2 ; 3 ; et 3. Vérifier queMest l’image de C dans la rotation de centre I et dont une mesure de l’angle est−4t. ³ ´ −→ á −→ En déduire d’une part une mesure de l’angleIC ,IM ,et d’autre part queMest sur un cercle de centre I et de rayon indépendant det.

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