Baccalauréat C Nantes juin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C Nantes juin 1980 \ EXERCICE 1 3 POINTS Si p et q sont deux éléments de Z? le plus grand commun diviseur de ces deux nombres sera noté p?q . 1. a. Déterminer l'ensemble des éléments x de Z qui vérifient : 3x ? 23 [7]. b. En déduire l'ensemble des couples (x, y) de Z2 qui vérifient : 3x?7y = 23 (1) 2. a. Soit k un élément de Z, k 6= 7. Démontrer l'égalité (3+7k)? (?2+3k) = (k+7)?23. b. En déduire l'ensemble des couples (x, y) de (Z?)2 vérifiant (1) et tels que x? y 6= 1. EXERCICE 2 5 POINTS 1. Soit g l'application de R? dans R définie par g (x)= 2? x+ ln |x|. a. Étudier les variations de g et ses limites aux bornes de R?. b. Démontrer qu'il existe trois nombres réels?1,?2,?3, qu'on ne cherchera pas à calculer, tels que : ?1 < 0

• structure d'espace vectoriel


• combinaison linéaire de p1


• lement invariantes par ?


• application de r?


• structure d'anneau unitaire


• ????am0 ?


• allure de la courbe représentative

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 1980
• Nombre de lectures: 19
• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat C Nantes juin 1980\

E X E R C IC E 1 3 P O IN TS ⋆ Sipetqsont deux éléments deZle plus grand commun diviseur de ces deux nombres sera notép∧q. 1. a.Déterminer l’ensemble des élémentsxdeZqui vérifient :

3x≡23 [7]. 2 b.En déduire l’ensemble des couples (x,y) deZqui vérifient :

3x−7y=23 (1) 2. a.Soitkun élément deZ,k6=7. Démontrer l’égalité

(3+7k)∧(−2+3k)=(k+7)∧23. ¡ ¢ 2 ⋆ b.En déduire l’ensemble des couples (x,y) deZvérifiant (1) et tels que

x∧y6=1.

E X E R C IC E 2 ⋆ 1.Soitgl’application deRdansRdéfinie par

5 P O IN TS

g(x)=2−x+ln|x|. ⋆ a.Étudier les variations deget ses limites aux bornes deR. b.Démontrer qu’il existe trois nombres réelsα 1 ,α 2 ,α 3 , qu’on ne cherchera pas à calculer, tels que :

α 1 <0<α 2 <1<α 3

g ( α 1 ) =g ( α 2 ) =g ( α 3 ) =0. 2.Soitfl’application deR−1} dans{0 ;Rdéfinie par

x(1+ln|x|) f(x)=. 1−x ′ Calculer la fonction dérivéef. Déduire de la première question l’étude du ′ signe def(x). 3.SoitFl’application deR−{1} dansRdéfinie par ½ F(x)=f(x) six6=0 F(0)=0 a.Festelle continue enx=0 ? Estelle dérivable en ce point ? b.Étudier les variations deF. ³ ´ −→−→ c.O,On considère un plan affine rapporté à un repère orthonorméı, −→ (ıdirigeant l’axe des abscisses, unité 3 centimètres). Donner l’allure de la courbe représentativeCdeFdans ce plan. Déter miner les points d’intersection, autres que O, deCavec la droite d’équa tiony= −x.

Le baccalauréat de 1980

A. P. M. E. P.

P R O B L È M E 12 P O IN TS ³ ´ −→−→ Soient P un plan vectoriel euclidien, rapporté à une base orthonorméeB=ı,, Pun plan affine associé à P, O un point deP; on noteRle repère (O ;B) deP. Pour les représentations graphiques dansPon prendra deux centimètres pour unité de longueur. On désigne par L(P) l’ensemble des endomorphismes de P. On rappelle queL(P) a une structure d’espace vectoriel et que, muni de l’addition et de la com position des applications, notées respectivement + et◦, cet ensemble a aussi une structure d’anneau unitaire. On désigne respectivement par e et ’ l’application identique et l’application nulle de n L(P). Sifest un élément deL(P) et sinest un entier naturel, on notefl’élément deL(P) défini par les relations 0 1n n−1 f=e,f=f,f=f◦fsin>1. Partie A On se propose d’étudier les endomorphismesfdeL(P) vérifiant la relation 1 5 2 f+f−e=ω. (1) 2 18

1.Soitgl’endomorphisme de P dont la matrice dans la baseBest :   1 7 − − 4 12   7 1 − − 12 4 Vérifier quegest solution de (1). 2. a.Déterminer les deux homothéties vectorielles solutions de (1). On ap pellek 1 etk 2 leurs deux rapports aveck 1 <k 2 . b.Démontrer que la relation (1) est équivalente à la relation ¡ ¢¡ ¢ f−k 1 e◦f−k 2 e=ω. (2) 3.Soitfl’endomorphisme de P, autre qu’une homothétie vectorielle, vérifiant (1). On note de la manière suivante deux noyaux et deux images :

¡ ¢¡ ¢¡ ¢¡ ¢ N 1 =kerf−k 1 e ,N 2 =kerf−k 2 e ,I 1 =Imf−k 1 e ,I 2 =Imf−k 2 e .

a.Démontrer queI 2 =N 1 etI 1 =N 2 . En déduire queN 1 etN 2 sont deux sousespaces vectoriels supplémentaires de P. b.Soientp 1 la projection vectorielle de P surN 1 de directionN 2 et p 2 =e−p 1 . Démontrer le relation :

f=k 1 p 1 +k 2 p 2 . n En déduire, pournentier naturel, une expression defcombinaison linéaire dep 1 etp 2 . 4.On désigne parπle sousespace vectoriel deL(P) engendré parp 1 etp 2 de la question précédente. a.Quelle est la dimension deπ?

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Le baccalauréat de 1980

A. P. M. E. P.

b.Démontrer que (π,+,◦) est un anneau unitaire. Préciser l’élément neutre de cet anneau. c.Déterminer les solutions de (1) dansπ, autres quef. 5.On suppose désormais quefest l’endomorphismegdéfinie à la première question. a.DéterminerN 1 etN 2 . Donner une base de chacun de ces espaces vecto riels. b.Vérifier quep 1 etp 2 sont des projections orthogonales. En déduire que : 2 2 2 ° °° ° ∀x,x∈P,kxk2=p 1 (x)+p 2 (x) . c.Démontrer qu’un élémentλ 1 p 1 +λ 2 p 2 deπest une isométrie si et seule ment si | λ 1 | = | λ 2 | = 1. En déduire que l’ensemble des applications deπqui sont des isométries est un groupe dont on précisera les éléments. Partie B Soitγl’application affine dePdansPdont l’endomorphisme associé est l’applica 7 tiongdu A 1. et telle queγ(O)=O 1 , O 1 et d’ordonnée 5étant le point d’abscisse 3 dansR. 1.Démontrer queγadmet un point invariant unique A dont on donnera les co ordonnées dansR. 2. a.Démontrer qu’il y a exactement deux droites dePpassant par A, globa lement invariantes parγ. Représenter graphiquement ces droites dans Pmuni deR. b.Démontrer que ce sont les seules droites dePglobalement invariantes parγ. p ³ ´³ ´ −→ −→−→ 2 →→−− ′ 3.SoitRA ;le repèreu 1 ,u 2 oùu 1 =ı+dirige l’axe des abscisses et 2 ³ ´ −→ 2 −→−→ u 1 = −ı+celui des ordonnées. 2 SoitM 0 un point deP. Sinest un entier naturel non nul, on poseM 1 = γ ( M 0 ) ,∙ ∙ ∙,M n =γ ( M n−1 ). a.Montrer que l’on peut écrire −−−→−−−→−−−→ n n p 2 M 0 . =kAM 0 +k 1 A AM n 2 p 1 En déduire que ¡ ¢ −−−→−−−→ n n ° AM n ° 6 | k 1 || + k 2 | ° AM 0 ° . Que peuton en déduire pour la suite des points (M n ) ? n∈N b.Déterminer le réel strictement positifαtel que la courbe C du planP, re ′⋆α présentant dansRla fonction deRdansR,x7|→−x|soit globalement invariante parγ. c.Démontrer que siM 0 ∈C, on a :

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∀n,n∈N,M n ∈C. d.SoitΓle cercle dePde centre A et de rayon 4. Déterminer une équa ′ tion deγ(Γ) dansR? Préciser ses. Quelle est la nature de cette courbe sommets. Représenter graphiquementΓetγ(Γ) sur le dessin de la question B 2. a.

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