Baccalauréat C Paris 1 juin 1987

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat C Paris 1 juin 1987 \ EXERCICE 1 5 points Dans le plan orienté, on considère quatre points A, B, C, D distincts deux à deux. On note I le milieu de [BD], J le milieu de [AC] et O l'isobarycentre de (A, B, C, D). On construit les triangles rectangles isocèles ABM, BCN, CDP et DAQ tels que les angles orientés (???MB , ???MA ) , (???NC , ???NB ) , (???PD , ???PC ) et (???QA ,???QD ) admettent pour me- sure pi2 . On note K le milieu de [MP] et L le milieu de [NQ]. On se propose d'étudier la configuration (I, J, K, L). À cet effet, on pourra prendre un repère orthonormal direct d'origine O et introduire les affixes a, b, c, d de A, B, C, D, les affixes m, n, p, q de M, N, P, Q et les affixes f , g , k, l de I, J, K, L. 1. Déterminer le milieu de [IJ]. 2. Prouver que m(1? i)= a ? ib. Calculer de manière analogue n, p et q .

• triangle rectangle


• cm pour longueur


• milieux respectifs des segments


• axe des abscisses


• position relative de la courbe représentative


• h? au point d'abscisse ck


• sinx ?


• cercles de diamètres respectifs

Sujets

• Triangle rectangle

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 1987
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Extrait

Durée : 4 heures

1 [Baccalauréat C Parisjuin 1987\

E X E R C IC E 1 5points Dans le plan orienté, on considère quatre points A, B, C, D distincts deux à deux. On note I le milieu de [BD], J le milieu de [AC] et O l’isobarycentre de (A,B, C, D). On construit les triangles rectangles isocèles ABM, BCN, CDP et DAQ tels que les ³ ´³ ´³ ´³ ´ −−→−−→−→−→−→−→−→−−→ angles orientésMB ,MA ,NC ,NB ,PD , PCet QA, QDadmettent pour me π sure .On note K le milieu de [MP] et L le milieu de [NQ]. 2 On se propose d’étudier la configuration (I, J, K, L). À cet effet, on pourra prendre un repère orthonormal direct d’origine O et introduire les affixesa,b,c,dde A, B, C, D, les affixesm,n,p,qde M, N, P, Q et les affixesf,g,k,lde I, J, K, L. 1.Déterminer le milieu de [IJ]. 2.Prouver quem(1−i)=a−ib. Calculer de manière analoguen,petq. 3.En déduire le milieu de [KL].Déterminer l’isobarycentre de (M,N, P, Q). 4.Effectuer une figure soignée en prenant a= −2+2i,b= −2−i,c= −2i etd=4+i. 5.Soitrle quart de tour direct de centre O. Montrer quer( J)= K. 6.telles que I = J.B, C, D)Caractériser les configurations (A, Indiquer alors la position de K et de L et la nature de (M, N, P, Q). Ce cas étant écarté, prouver que (I, K, J, L) est un carré de centre O.

E X E R C IC E 2 4points Dans le plan orienté, on considère un triangle rectangle isocèle ABC tel que (AB,AC ) = π modulo 2π. 2 On note I, J, K les milieux respectifs des segments [BC], [CA] et [AB]. 1.On désigne parΓ A ,Γ B etΓ C les cercles de diamètres respectifs [AI], [BI] et [CI]. a.Effectuer une figure : on dirigera (BC) suivant l’axe des abscisses et on prendra 8 cm pour longueur de [BC]. π b.Soitrla rotation de centre I et d’angle ayant pour mesure. Déterminer 2 les images parrdeΓ C etΓ A . Par quelle transformation simple passeton deΓ C àΓ B ? 2.Pour tout point M deΓ A distinct de I, J et K, on note N le point où la droite (MK) recoupeΓ B et P le point où la droite (MJ) recoupeΓ C . a.Établir que les droites (IM) et (IP) sont orthogonales. (On pourra utiliser la cocyclicité des points A, M, I, J et des points C, P, I, J). b.Déterminer les images parrde P et de M. En déduire que I est le milieu de [NP] et que le triangle MNP est rectangle isocèle. Préciser ce triangle sur la figure. c.Déterminer une similitude directe transformant ABC en MNP. 1. Paris,Créteil, Versailles

Baccalauréat C

A. P. M. E. P.

P R O B L È M E 11 points Dans ce problème, on étudie la fonctionfdéfinie sur [ ;+∞[ par sinx f(x)=six>0 etf(0)=1 x ce qui fait l’objet de la partie I. Dans la partie II, on décrit une méthode de calcul d’une valeur approchée de l’intégrale Z π sinx J=dx. x π 2 Partie IÉtude de la fonctionf 1.Dérivation def Montrer quefest dérivable sur ]0 ;+∞[ et calculer la dérivée defsur cet intervalle. 2.Signe def a.Déterminer les nombres réelsx > 0 tels quef(x)=0. On rangera ces nombres en une suite strictement croissante (a 1 ,a 2 ,∙ ∙ ∙,a k ,∙ ∙ ∙). b.Étudier le signe def 3.Encadrement def a.Prouver que pour tout nombre réelx>0, 1 1 − 6 f(x) 6 . x x En déduire la limite def(x) lorsquextend vers+∞. 1 b.Déterminer les nombres réelsx>0 tels quef(x)=et ceux tels que x 1 f(x)= −. x On rangera ces nombres en des suites strictement croissantes (b 1 ,b 2 ,∙ ∙ ∙,b k ,∙ ∙ ∙ ) et (c,c,∙ ∙ ∙,c,∙ ∙ ∙). 1 2 k c.En déduire la position relative de la courbe représentativeCdefet des 1 1 courbes représentativesH + dex→−7etH − dex−→−7. x x Comparer les tangentes àCetH + au point d’abscisseb k ainsi que les tangentes àCetH − au point d’abscissec k . 4.Variations def i h π a.Étudier le signe dex→−7tanx−x; .sur 0 2 ′ En déduire le signe defsur cet intervalle. b.Prouver que pour tout entierk > 1, il existe un élémentx k et un seul de i h π π − +kπ;+kπtel que tanx k =x k ; montrer quex k >kπ. 2 2 ′ c.En déduire le signe defsur ]0 ;x 1 [, puis sur chaque intervalle ]x k ;x k+1 [, oùk=1, 2,∙ ∙ ∙ 5.Étude defen 0 a.Prouver que, pour tout nombre réelx > 0, 2 x 0 6 x−sinx 6 6 (Pour cela, on introduira la fonctionϕdéfinie sur [0 ;+∞[ par 3 x ϕ(x)=sinx−x+. 6 ′ ′′′′′ on calculera les dérivéesϕ,ϕetϕet on en déduira le signe deϕ).

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Baccalauréat C

A. P. M. E. P.

′ b.Prouver quefest dérivable au point 0 et calculerf(0). 6.Courbe représentative def a.Dresser le tableau de variations defsur l’intervalle [0 ; 3π]. b.Tracer sur une même figure les courbesH + ,H − etCen se limitant à l’intervalle [0 ; 3π] et placer les pointsa k ,b k ,c k etx k . On utilisera les valeurs approchées

x 1 ≈et4, 49x 2 ≈7, 73. (Unités graphiques : 1 cm sur l’axe des abscisses, 3 cm sur l’axe des or données,) Partie IIApproximation de l’intégrale J 1.Transformation deJ h i π Pour tout élémentude ;π, on pose 2 Z u sint F(u)=dt. t π 2 · ¸ 1 et pour tout élémentx; onposede 0 2 Z x sinπt G(x)=dt. 0 1−t · ¸ 1 a.Prouver que pour tout élémentx; :de 0 2 G(x)=F(π)−F[π(1−x)]. (On pourra comparer les dérivées des deux membres.) b.En déduire que Z 1 sinπt 2 J=dt. 0 1−t 2.Approximation deJ Soit (u n ) la suite définie par : Z Z 1 1 2 2 n u 0 =sinπtdtet sin > 1,u n =tsinπtdt. 0 0 a.Prouver que, pour toutn > 1,

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où

J=u 0 +u 1 + ∙ ∙ ∙ +u n−1 +r n .

Z 1 n tsinπt 2 r n =dt. 0 1−t · ¸ 1 b.Établir que, pour tout élémenttde 0; 2 n tsinπt n 6 2t 1−t En déduire une majoration simple der n .

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Baccalauréat C

c.Montrer que

A. P. M. E. P.

J=lim (u 0 +u 1 + ∙ ∙ ∙ +u n−1 ) . n→+∞ 3.Calcul des intégralesu n a.Calculeru 0 etu 1 . b.Établir que pour tout entiern > 2, h i 1n u n = −n(n−1)u n−2 . 2n−1 π2 4.Conclusion À partir des résultats obtenus en 2. et 3., indiquer une méthode de calcul d’une −2 valeur approchée deJ. (On ne demande pas d’effectuer ceà la précision 10 calcul.)

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