Baccalauréat C Poitiers septembre

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C Poitiers septembre 1978 \ EXERCICE 1 3 POINTS Soient a et b deux entiers premiers entre eux. 1. Montrer que a+b et ab sont premiers entre eux ; en déduire que les nombres a+b et a2?ab+b2 sont premiers entre eux ou divisibles par 3. 2. Démontrer l'égalité : P.G.C.D.(a+b ; a2?ab+b2)= P.G.C.D.(a+b ; 3). EXERCICE 2 3 POINTS Dans un plan affine P muni d'un repère ( O, ??ı , ??? ) , on considère les points A et B définis par ???OA = a2??ı et ???OB = a??? , où a est un nombre réel donné. 1. UnpointM de coordonnées x et y étant donné, discuter l'existence d'un point M ? vérifiant ???? M ?A +????M ?B +a?????M ?M = 0, selon la valeur de a et la position de M . 2. Lorsqu'elle est définie, on appelle f l'application qui à un point M de P fait correspondre le pointM ? deP défini par la relation de la question précédente. Préciser la nature et les éléments caractéristiques de f . PROBLÈME 14 POINTS Les parties A et B sont largement indépendantes. Partie A Soit E un espace vectoriel euclidien de dimension 3, orienté, dont B = (?? ı , ??? , ??k ) est une base orthonormée directe.

• restriction de ?


• equation cartésienne


• rotations vectorielles


• pointm ?


• asymptotes éven- tuelles


• normé direct


• relation de la question précédente

Sujets

• Équation cartésienne

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 septembre 1978
• Nombre de lectures: 23
• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat C Poitiers septembre 1978\

E X E R C IC E 1 Soientaetbdeux entiers premiers entre eux.

3 P O IN TS

1.Montrer quea+betabsont premiers entre eux ; en déduire que les nombres 2 2 a+beta−ab+bsont premiers entre eux ou divisibles par 3. 2.Démontrer l’égalité : ¡ ¢ 2 2 P.G.C.D.a+b;a−ab+b=P.G.C.D.(a+b; 3).

E X E R C IC E 2 3 P O IN TS ³ ´ −→−→ Dans un plan affinePO,muni d’un repèreı,, on considère les points A et B −→−→−→−→ 2 définis par OA=a ıet OB=a, oùaest un nombre réel donné.

1.Un pointMde coordonnéesxetyétant donné, discuter l’existence d’un point ′ Mvérifiant −−→−−→−−−→ ′ ′′ MA+MB+a MM=0, selon la valeur deaet la position deM. 2.Lorsqu’elle est définie, on appellefl’application qui à un pointMdePfait ′ correspondre le pointMdePdéfini par la relation de la question précédente. Préciser la nature et les éléments caractéristiques def.

P R O B L È M E Les parties A et B sont largement indépendantes.

14 P O IN TS

Partie A ³ ´ −→−→ −→ Soit E un espace vectoriel euclidien de dimension 3, orienté, dont B =ı,,kest une base orthonormée directe. Pour tout nombre réelm, on considère l’application linéaireϕ m de E dans E définie par :  ³ ´h i −→ 1 −→ −→ −→ ϕ m ı=m ı+(m+1)+2k  3  h i −→ 1−→ −→ −→ ϕ m ()= −2ı−m+(m+1)k 3 h i −→ 1 −→ −→ −→   ϕ m (k)=(m+1)ı−2+m k. 3 ¡ ¢ ′ ′ ′ 1. a.Déterminer les coordonnéesX;Y;Zde l’image parϕd’un vecteur −→ ude coordonnées (X;Y;Z). ³ ´³ ´³ ´ −→−→ −→ b.Démontrer que les vecteursϕ m ı,ϕ m ,ϕ m ksont linéairement indépendants pour toutm. L’applicationϕ m estelle bijective pour toutm? 2.Montrer qu’il existe exactement deux valeursm 1 etm 2 (m 2 <m 1 ) demtelles queϕetϕogonales de E. Établir queϕ m 1 m 2 soient des transformations orth m 1 est une rotation vectorielle dont on précisera l’axe.

Le baccalauréat de 1978

A. P. M. E. P.

3.On s’intéresse au cas oùm=1, et on poseϕ m =ϕ m . Soit D l’ensemble des 1 vecteurs invariants parϕ, et P le plan vectoriel orthogonal à D. On considère les vecteurs : p ³ ´³ ´ −→ 2 −→ −→ −→−→ −→ 2 →− →− u=ı−k,v=, etw=ı+k. 2 2 −→ a.Vérifier quewappartient à D, et donner une équation cartésienne de P relativement à B. b.En considérant l’endomorphismeψde E défini par ³ ´³ ´³ ´ −→−→−→−→ −→ −→ ψı=u,ψ =vetψk=w, ³ ´ −→−→−→ montrer queu,v,west une base orthonormée directe de E. ³ ´ −→−→−→ c.Dans toute la suite, on oriente D parwet, par convention,u,vest une base orthonormée directe de P. ′ On désigne parϕla restriction deϕà P. Siαest une mesure de l’angle ′ deϕ(ou deϕ) dans P ainsi orienté, déterminer cosαet sinα. Partie B On désigne parPun plan affine euclidien de direction P rapporté au repère ortho ³ ´ −→−→ normé direct R =O,u,v(le point O appartient àP). Soitfl’application dePdans luimême, qui, au pointMde coordonnées (x;y), ′ fait correspondre le pointMde coordonnées  1 23  ′  x= −x−y 3 3 2 31  ′  y=x−y 3 3

1.Déterminer la nature defet en déduire l’existence et la définition analytique de son application réciproque. 2. a.Soitgla fonction numérique de la variable réellexdéfinie par µ ¶ 2 7 2x+1 g(x)=. 8x Étudier les variations deg, et tracer sa courbe représentativeCdans le planPrapporté à R. ′ b.Montrer que la courbeCimage deCparfa pour équation cartésienne

2 2 x−8y−7=0. 3.On considère un point mobileNdePdont les coordonnées à l’instantt(t décrivantR) sont données par : ( t−t x=x(t)=4e+e 1 t−t y=y(t)=2e−e . 2 ′ a.À quels instantstle pointNestil surC?

Poitiers

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septembre 1978

Le baccalauréat de 1978

Poitiers

A. P. M. E. P.

b.Vérifier que le supportΓde la trajectoireTdeNa pour équation carté sienne

2 2 x−4y−16=0.

IdentifierΓ(nature, centre, sommets, axes de symétrie, asymptotes éven tuelles). TracerΓet préciserT(on démontrera quex(t) ety(t) décrivent respec tivement [4 ;+∞[ etR, lorsquetdécritR). c.Déterminer les vecteurs vitesse et accélération deNà l’instantt, et en déduire l’ensemble des valeurs detpour lesquelles le mouvement est accéléré.

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septembre 1978