Baccalauréat C Polynésie juin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C Polynésie juin 1998 \ EXERCICE 1 5 POINTS Une urne A contient 2 boules rouges et 3 boules noires, une urne B contient 3 boules rouges et deux boules noires. On tire au hasard une boule de l'urne A : • si elle est noire, on la place dans l'urne B, • sinon, on l'écarte du jeu. On tire au hasard ensuite une boule de l'urne B. On considère les événéments suivants : R1 : « La boule tirée de A est rouge » ; N1 : « La boule tirée de A est noire » ; R2 : « La boule tirée de B est rouge » ; N1 : « La boule tirée de B est noire ». 1. a. Calculer les probabilités des événements R1 et N1. b. Calculer les probabilités des événements «R2 sachant R1 » et «R2 sachant N1 ». En déduire que la probabilité de R2 est de 27 50 . c. Calculer la probabilité de N2. 2. On répète n fois l'épreuve précédente (tirage d'une boule de A, suivie du tirage d'une boule de B dans les mêmes conditions initiales indiquées ci-dessus), en supposant les différentes épreuves indépendantes. Quel nombreminimumd'essais doit-on effectuer pour que la probabilité d'ob- tenir au moins une fois une boule rouge de l'urne B soit supérieure à 0,99 ? EXERCICE 2 5 POINTS Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal ( O, ??u , ??v ) (unité graphique 2 cm

• approximation décimale de up


• image p' sur la figure


• boule


• probabilité d'ob


• point d'affixe


• b? dans le plan

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 1998
• Nombre de lectures: 23
• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat C Polynésie juin 1998\

E X E R C IC E 1 5 P O IN TS Une urne A contient 2 boules rouges et 3 boules noires, une urne B contient 3 boules rouges et deux boules noires. On tire au hasard une boule de l’urne A : •si elle est noire, on la place dans l’urne B, •sinon, on l’écarte du jeu. On tire au hasard ensuite une boule de l’urne B. On considère les événéments suivants : R 1 : « La boule tirée de A est rouge » ; N 1 : « La boule tirée de A est noire » ; R 2 : « La boule tirée de B est rouge » ; N 1 : « La boule tirée de B est noire ». 1. a.Calculer les probabilités des événementsR 1 etN 1 . b.Calculer les probabilités des événements « R 2 sachant R 1 » et « R 2 sachant 27 N 1 ». En déduire que la probabilité deR 2 est de. 50 c.Calculer la probabilité deN 2 . 2.On répètenfois l’épreuve précédente (tirage d’une boule de A, suivie du tirage d’une boule de B dans les mêmes conditions initiales indiquées cidessus), en supposant les différentes épreuves indépendantes. Quel nombre minimum d’essais doiton effectuer pour que la probabilité d’ob tenir au moins une fois une boule rouge de l’urne B soit supérieure à 0,99 ?

E X E R C IC E 2 5 P O IN TS ³ ´ −→−→ Le plan complexe est muni d’un repère orthonormalO,u,v(unité graphique 2 cm). On note A le point d’affixe 1 et B le point d’affixe 3+2i. On appellefl’application qui, à tout pointMdistinct de A et d’affixez, associe le ′ ′ pointMd’affixezdéfinie par z−1+2i ′ z= z−1 ′ ′ 1.Calculer les affixes des points Oet B , images respectives des points O et B par ′ ′ fdans le plan.. Placer les points A, O , B et B 2. a.Calculer, pour tout complexezdifférent de 1, le produit ¡ ¢ ′ z−1 (z−1) b.En déduire que, pour tout pointMdistinct de A, on a : ³ ´³ ´ −−→ −→−−→−→ π ′ ′ AM×AM=2 etu, AM+u, AM=+2kπ,k∈Z 2 3.Démontrer que, siMappartient au cercle (C) de centre A passant par O, alors ′ ′ Mappartient à un cercle (C). En préciser le centre et le rayon. ′ Construire (C) et (C). −→−→ 4. a.Déterminer l’angle (u, AB). b.Démontrer que, siMest un point autre que A de la demidroite (d) d’ori ′ gine A, passant par B, alorsMappartient à une demidroite que l’on précisera.

Le baccalauréat de 1990

A. P. M. E. P.

5.On appelle P le point d’intersection du cercle (C) et de la demidroite (d). Placer son image P’ sur la figure.

E X E R C IC E 2 Partie A : Résolution d’une équation différentielle

10 P O IN TS

1.Déterminer les fonctions définies surRsolutions de l’équation différentielle (E 1 ) :

′′ ′ y+2y+y=0.

2.On considère l’équation différentielle (E 2 ) :

′′ ′ y+2y+y=x+3. a.Vérifier que la fonctionpdéfinie surRparp(x)=x+1 est solution de (E 2 ). b.Démontrer qu’une fonctiongest solution de (E 2 ) si, et seulement si, la fonctiong−pest solution de (E 1 ). c.Déduire de1.et2.(b)les solutions de (E 2 ) d.Déterminer la solution générale de (E 2 ) qui vérifie : ′ g(0)=1 etg(0)=2.

Partie B : étude d’une fonctionfet courbe représentative On appellefla fonction définie sur l’intervalle [0,+∞[ par :

−x f(x)=x+1+xe . On note (C) la courbe représentative defdans le plan muni du repère orthonormal ³ ´ −→−→ O,ı,(unité graphique 2 cm). ′ ′′ 1. a.fetfdésignant respectivement les dérivées première et seconde def, ′ ′′ calculer, pour tout réelx,f(x) etf(x). ′ b.étudier le sens de variation de la dérivéef. ′ c.Démontrer que, pour tout réelx,f(x)>0. d.Calculer la limite defen +∞. e.Dresser le tableau de variation de la fonctionf. 2. a.Démontrer que la droite (D) d’équationy=x+1 est asymptote à (C) et préciser la position relative de (D) et (C). b.La courbe (C) admet en un point A une tangente parallèle à la droite (D). Déterminer les coordonnées de A. 3.Démontrer que l’équation def(x)=2 admet sur [0,+∞[ une unique solution notéeα, puis vérifier que 0<α<1. 4. a.Construire la droite (D), le point A défini au2. b., la courbe (C) et la tangente en A à la courbe (C). b.Donner par lecture graphique une valeur approchée deα.

Partie C : Recherche d’une approximation décimale deα

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Le baccalauréat de 1990

A. P. M. E. P.

1.Démontrer que, sur [0 ;+∞[, l’équation :f(x)=2 équivaut à l’équation :

x e =x x e+1 2.On appellehla fonction définie sur l’intervalle [0 ; 1] par : x e h(x)=. x e+1 ′ a.Calculerh(x) pour tout réelx; 1] et réaliser le tableaude l’intervalle [0 de variations de la fonctionh. b.En déduire que, pour tout réelxde [0 ; 1],h(x) appartient à [0 ; 1]. ′′ c.Calculerh(x) pour tout réelx; étudier le sens de; 1]de l’intervalle [0 ′ variations deh. d.En déduire que, pour tout réelxde [0 ; 1], 1 ′ 0 6 h(x) 6 4 3.On définit la suite (u n ) n∈N par : ½ u 0 =0 u n+1 =h(u n ) pour tout entier natureln. a.Démontrer que, pour tout entier natureln,u n appartient à l’intervalle [0 ; 1]. b.Démontrer que, pour tout entier natureln, 1 |u n+1 −α| 6 |u n −α| 4 c.En déduire que, pour tout entier natureln, µ ¶ n 1 |u n+1 −α| 6 4 ue la suitconverge versα. puis qe (u n ) n∈N −6 d.Déterminer un entierptel queu p soit une valeur approchée à 10près deαet, à l’aide de la calculatrice, proposer une approximation décimale −6 deu p près. Que peuton en déduire pourà 10α?

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