Baccalauréat C Pondichéry juin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C Pondichéry juin 1979 \ EXERCICE 1 3 POINTS Soit B un entier naturel non nul. Dans tout ce qui suit, les écritures surlignées représentent des nombres écrits en base B . 1. Montrer que 132 est divisible par B +1 et B +2. Pour quelles valeurs de B, 132 est-il divisible par six ? 2. Montrer que A = 1320 est divisible par six. 3. On pose C = 1430. Quelle est le p. g. c. d. de A et C ? EXERCICE 2 4 POINTS A, B, C sont trois points non alignés d'un plan affine P et P? le plan P privé de la droite AB. 1. Soit E l'ensemble des couples (a, b) de R2 tels que a+b+1 6= 0. Démontrer que l'application f qui à tout élément (a, b) de E associe le bary- centre G de (A, a), (H, b), (C, 1) est une bijection de E sur P?. 2. On considère l'application g de P? dans P? qui au point G associe le point G? barycentre de (A, b), (B, a), (C, 1). a. Déterminer l'ensemble des points invariants par g . b.

• privé de la droite ab


• abscisses des points comuns


• point g?


• représentation graphique dans le repère


• e? x2 ety


• e? x2


• repère orthonormé

Sujets

• Base orthonormale

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 1979
• Nombre de lectures: 26
• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat C Pondichéry juin 1979\

E X E R C IC E 1 3 P O IN TS SoitBun entier naturel non nul. Dans tout ce qui suit, les écritures surlignées représentent des nombres écrits en baseB. 1.Montrer que 132 est divisible parB+1 etB+2. Pour quelles valeurs deB, 132 estil divisible par six ? 2.Montrer queA=est divisible par six.1 320 3.On poseC=Quelle est le p. g. c. d. de1 430.AetC?

E X E R C IC E 2 4 P O IN TS ′ A, B, C sont trois points non alignés d’un plan affine P et Ple plan P privé de la droite AB. 2 1.Soit E l’ensemble des couples (a,b) deRtels quea+b+16=0. Démontrer que l’applicationfqui à tout élément (a,b) de E associe le bary ′ centre G de (A,a), (H,b.), (C, 1) est une bijection de E sur P ′ ′′ 2.On considère l’applicationgqui au point G associe le point Gde Pdans P barycentre de (A,b), (B,a), (C, 1). a.Déterminer l’ensemble des points invariants parg. −−→ ′ b.Démontrer que GGappartient à une direction indépendante de G. ′ c.Démontrer que le milieu de (G, G ) est sur une droite fixe et en déduire la nature deg.

P R O B L È M E 13 P O IN TS On rappelle que l’ensembleAdes applications deRdansR, muni de l’addition des applications, et du produit d’une application par un réel est un espace vectoriel sur R. Partie A On notee 1 ete 2 les deux applications deRdansRdéfinies respectivement par x x − − 2 2 e 1 (x)= e sinxete 2 (x)=e cosx, et on appelleFle sousespace vectoriel deAengendré pare 1 ete 2 . 1.Démontrer que (e 1 ,e 2 ) est une base deF. ′ a.Démontrer que tout élémentfdeFest dérivable, et que sa dérivéef appartient àF. b.Écrire la matrice dans la base (e 1 ,e 2 ) de l’endomorphismeDdeF, qui ′ àfassocief. −1 Établir queDest bijective, et définir l’application réciproqueD. c.Utiliser le résultat précédent pour calculer l’intégrale Z 3π 4 x − 2 I 0 =e (sinx+cosx) dx. π − 4

Le baccalauréat de 1979

A. P. M. E. P.

Partie B h h π Dans cette partie, on désigne parfl’application de J= −;+∞dansRdéfinie 4 par

x − f(x)=e (sinx+cosx), 2 et par C la courbe représentative defdans un plan affine euclidien rapporté à un ³ ´ −→−→ repère orthonorméO,ı,.

1.Résoudre dans J l’équationf(x)=0. · · π7π Étudier le sens de variation defsur l’intervalle−;+. 4 4 h i π1π On noteraαle réel de l’intervalle0 ;tel que tgα=, et on prendraα=; 2 39 d’autre part, on ne cherchera pas à déterminer les valeurs maximale el mini male). x − 2. a.Démontrer que, pour toutxappartenant à J,|f(x)| 6 2e . 2 En déduire quefadmdet une limite finie en+∞. ³ ´ −→−→ ′ b.SoitΓetΓO,les représentations graphiques dans le repèreı,des applicationsgethde J dansRdéfinies par

x x − − g(x)=2e etyh(x)= −2e 2 2 ′ Calculer les abscisses des points comuns à C etΓd’une part, à C etΓ d’autre part. ′ Établir qu’en tout point commun à C etΓ(respectivement : à C etΓ), les deux courbes admettent la même tangente. c.SoitMle point de coordonnées (x;y; calculer en fonction de) sur Cy ′ l’ordonnée du pointMd’abscissex+2πsur C. d.Utiliser les résultats précédents pour construire C, On commencera par ′ mettre en place les courbesΓetΓ, puis l’arc de C correspondant à l’in · · π7π tervalle−;+. 4 4 On donne : 9π5ππ π x− −π−− − 8 82 8 x e 0,030,04 0,14 0,21 0,67

Partie C π Les solutions dans l’intervalle J=[−;+∞[ de l’équationf(x)=0 forment la suite 4 ³ ´ π de réels− +kπ,k∈N. 4 On note comme au A : Z Z 3π7π 4 4 I 0 =f(x) dxpuisI 1 =f(x) dx π3π − 4 4 et d’une manière générale, pour tout entier naturelk: Z π − +(k+1)π 4 I=f(x) dx. k π − +kπ 4

Pondichéry

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juin 1979

Le baccalauréat de 1979

A. P. M. E. P.

1.En utilisant les résultats du A, trouver une primitiveFdefsur J, ayant la pro priété suivante : il existe un réelλstrictement positif tel que, pour tout réelx appartenant à J,F(x+π)= −λF(x). En déduire une expression simple deI k+1 en fonction deI k et deλ. n−1 X 2.Pour toutn∈N, on poseS = | I | . n k k=0 ExprimerS n en fonction deI 0 ,λetn. S n admetelle une limite lorsquentend vers+∞?

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