Baccalauréat C Rouen juin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C Rouen juin 1981 \ EXERCICE 1 a et b étant deux entiers naturels non nuls, soit d leur P.G.C.D. et m leur P.P.C.M. Trouver tous les couples (a, b) vérifiant le système ? ? ? m = d2 m+d = 156 a > b. EXERCICE 2 On pose, pour tout nombre complexe z, f (z)= z4+4z3+6z2+ (6?2i)z+3?2i. 1. Montrer que le polynôme f (z) possède une, et une seule, racine réelle z0 que l'on déterminera. En déduire une factorisation de f (z) sous la forme (z? z0)Q(z) oùQ(z) est un polynôme complexe du 3e degré que l'on précisera. 2. Vérifier queQ(i)= 0 ; en déduire les solutions de l'équation (z ?C), f (z)= 0. 3. On note P un plan affine euclidien orienté muni d'un repère orthonormé di- rect ( O, ??u , ??v ) . z1,z2 et z3 désignant les solutions de l'équation :Q(z) = 0, on appelleM0 ,M1,M2 et M3 les points de P d'affixes respectives z0, z1, z2 et z3.

• réel


• base canoniqueder2


• coor- données u0


• coordonnées xn


• endomorphisme du plan vectoriel


• points g2

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 1981
• Nombre de lectures: 53
• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat C Rouen juin 1981\

E X E R C IC E 1 aetbétant deux entiers naturels non nuls, soitdleur P.G.C.D. etmleur P.P.C.M. Trouver tous les couples (a,b) vérifiant le système  2 m=d  m+d=156  a > b.

E X E R C IC E 2 On pose, pour tout nombre complexez,

4 3 2 f(z)=z+4z+6z+(6−2i)z+3−2i.

1.Montrer que le polynômef(z) possède une, et une seule, racine réellez 0 que l’on déterminera. En déduire une factorisation def(z) sous la forme (z−z 0 ) Q(z) oùQ(z) est un e polynôme complexe du 3degré que l’on précisera. 2.Vérifier queQ(i)=0 ; en déduire les solutions de l’équation

(z∈C),f(z)=0. 3.On note P un plan affine euclidien orienté muni d’un repère orthonormé di ³ ´ −→−→ rect O,u,v. z 1 ,z 2 etz 3 désignant les solutions de l’équation :Q(z)=0, on appelleM 0 ,M 1 ,M 2 etM 3 les points de P d’affixes respectivesz 0 ,z 1 ,z 2 etz 3 . Montrer que (M 1 ,M 2 ,M 3 ) est un triangle équilatéral dont le centre de gravité estM 0 et faire la figure correspondante.

P R O B L È M E

Partie A Soitaune constante réelle.Fest l’endomorphisme du plan vectoriel défini par sa ³ ´ −→−→ matrice dans la baseı,ı: µ ¶ −a1 A= 2 −a a

2 1.Déterminer le noyau deFet l’image deF. CalculerA. Les deux premiers résultats laissaientils prévoir le troisième ? n 2.I étant la matrice unité d’ordre 2, calculer pour toutn∈N: (aI+A) .La for mule du binôme de Newton estelle applicable ? Expliquer pourquoi. Partie B

Le baccalauréat de 1981

A. P. M. E. P.

Rappel :on nomme suites réelles les applications deNdansR. Leur ensembleV, muni de l’addition des applications, et de la multiplication d’une application par un réel, constitue un espace vectoriel surR. adésignant un réel non nul, soitWl’ensemble des suites réellesutelles que

2 (1)∀n∈N,u n+2 =2au n+1 −a u n . 1.Vérifier queWest un espace vectoriel surR, et que l’applicationϕdonnant deu∈Wl’image (u 0 ,u 1 ) est un isomorphisme de l’espace vectorielWvers 2 l’espace vectorielR. Définir une baseBdeWdans laquelleua pour coor donnéesu 0 etu 1 dans cet ordre. 2. a.Évalueru n en fonction dendans le cas oùu 0 =0 etu 1 =1. b.Trouver toutes les suites géométriques deW. c.Montrer, sans les calculer, l’existence et l’unicité des réelsαetβtels que

n n−1 (2)∀n∈W,∀n∈N,u n =αa+βn a. d.Calculerαetβen fonction deu 0 etu 1 . ′ 3.À toute suiteuélément deW, on associe la suiteu=f(u) définie par

′ (3)∀n∈N,u=u n+1 . n ′ Vérifier queuest élément deWet quefest un endomorphisme deW, dont on donnera la matriceMdans la baseBdéfinie au B 1. 2 4.Quelle est, dans la base canonique deR, la matrice de l’applicationgdonnant de (u 0 ,u 1 ) l’image (u 1 ,u 2 ) ? Quelle est l’application qui donne de (u 0 ,u 1 ) l’image (u n ,u n+1 ) ? En utilisant A) 2., retrouver l’expression deu n à partir deu 0 ,u 1 etn. Partie C Dans le plan affine P, soit un point fixe O et la suite de pointsM 0 ,M 1 , . . . ,M n , . . .tels que −−−−−→ −−−−−→−−−→ 2 (4)∀n∈N, OM n+2 =2aOM n+1 −aOM n . 1.On supposea6=1. SoitG n+1 le barycentre deM n+1 et deM n affectés respecti vement des coefficients 1 et−a. Vérifier queG n+1 etG n+2 sont alignés avec O. CommentG n se déduitil simplement deG n−1 ? 1 2.Dans tout ce qui suita=,M 0 etM 1 ont pour coordonnées respectives (2 ; 0) 2 et (1 ; 1) dans un repère d’origine O. Placer sur un graphique (axes perpendiculaires, unité : 1 dm) les pointsM 0 ,M 1 ,G 1 et résumer très sommairement la construction par laquelle chacun des points G 2 ,M 2 se déduit des précédents. Calculer, en fonction den, les coordonnéesx n ety n deM n . ¡ ¢ Les suites (x n ) ety n sontelles convergentes ? M n atil une position limite pourninfini ? 3.Soit dans le même plan P rapporté au repère précédent, la courbeCde repré sentation paramétrique ½ 1−t x=2 oùtdécritR. 1−t y=t∙2 Établir qu’il existe un point deCoù la tangente est parallèle à la droite (OM 0 ). 2 Montrer que son abscisse vaut; quelle est son ordonnée ? e Placer la tangente àCen Mo. Établir l’existence d’une tangente en 0 à C v fOl.

Rouen

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juin 1981

Le baccalauréat de 1981

A. P. M. E. P.

4.Former une équation cartésienne de la courbeC. 5.Au moyen d’une intégration par parties, calculer une primitive de la fonction x→−7xLogx. En déduire l’aire deE, partie du plan P délimitée par le segment OM 0 et l’arc OM 0 deC.

Rouen

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juin 1981