Baccalauréat C Rouen juin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C Rouen juin 1983 \ EXERCICE 1 4 POINTS Soit f la fonction numérique de R dans R définie par : f (x)= cos3x ·cos3 x. 1. Étudier les variations de la fonction f et construire se courbe représentative (C ) dans un repère orthonormé ( O, ??ı , ??? ) . (On prendra 3 cm comme unité). 2. Montrer que, quel que soit le réel x, on a : f (x)= a cos6x+b cos4x+c cos2x+d , où a, b, c, d sont quatre réels que l'on déterminera. 3. Calculer, en cm2, l'aire de l'ensemble E limité par la courbe (C ), l'axe des abs- cisses et les droites d'équations x = 0 et x = pi6 . EXERCICE 2 4 POINTS Les suitesU = (Un)n?N et V = (Vn)n?N à termes réels sont définies par : ? ? ? U0 = 5 U1 = 31 Un+2 = 12Un+1?35Un , ?n ?N ? ? ? V0 = ?1 V1 = ?11 Vn+2 = 12Vn+1?35Vn , ?n ?N Les suites X = (Xn )n?N et Y = (Yn)n?N sont alors définies par : ?n ?N, Xn =Un +Vn et Yn =Un ?Vn .

• droites vectorielles


• composée commutative


• xn etyn en fonctionden


• calcul deun


• anneau commutatif


• calcul pourmon- trer

Sujets

• Anneau commutatif

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 1983
• Nombre de lectures: 36
• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat C Rouen juin 1983\

E X E R C IC E 1 4 P O IN TS Soitfla fonction numérique deRdansRdéfinie par : 3 f(x)=cos 3x∙cosx. 1.Étudier les variations de la fonctionfet construire se courbe représentative ³ ´ −→−→ (CO,) dans un repère orthonorméı,. (On prendra 3 cm comme unité). 2.Montrer que, quel que soit le réel x, on a :

f(x)=acos 6x+bcos 4x+ccos 2x+d,

oùa,b,c,dsont quatre réels que l’on déterminera. 2 3., l’aire de l’ensemble E limité par la courbe (Calculer, en cmC), l’axe des abs π cisses et les droites d’équationsx=0 etx=. 6

E X E R C IC E 2 4 P O IN TS etV=Và Les suitesU= ( U n ) n∈N ( n ) n∈N termes réels sont définies par :  5  U 0 = U 1 =31  U n+2 =12U n+1 −35U n ,∀n∈N  = −1  V 0 V 1 = −11  V n+2 =12V n+1 −35V n ,∀n∈N Les suitesX=Xsont alors définies par : ( n ) n∈N etY= ( Y n ) n∈N ∀n∈N,X n =U n +V n etY n =U n −V n .

1.CalculerX 0 etX 1 . En utilisant un raisonnement par récurrence, montrer que la suiteXest une suite géométrique de raison 5. 2.Montrer de même que la suiteYest une suite géométrique. 3.CalculerX n etY n en fonction den; en déduire le calcul deU n etV n en fonction den. n n 4.Le 3. a montré :∀n∈N,U n =2×5+3×7 . Soitn∈N; on posed n =P. G. C. D (U n ,U n+1 ). CalculerU n+1 −5U n et 7U n −U n+1 ; utiliser les résultats de ce calcul pour mon trer qued n est égal à 1 ou à 2. U n etU n+1 sontils premiers entre eux ?

P R O B L È M E 12 P O IN TS ′ SoitMls. Sil’ensemble des matrices carrées d’ordre 2 à coefficients réeMetM appartiennent àMet siλest un réel, on note : ′ ′ •M+Mla somme des matricesMetM, ′ ′ •M×Mle produit des matricesMetM; •λ∙Mle produit de la matriceMpar le réelλ.

Le baccalauréat de 1983

A. P. M. E. P.

On rappelle que (M,+,∙) est un espace vectoriel réel et que (M,+,×) est un anneau unitaire. µ ¶µ ¶ 1 01 3 On poseI=etJ=. 1 01−1

Partie A µ a+b On désigne parEl’ensemble des matrices de la forme b 2 critR.

¶ 3b , où (a;b) dé b−a

1.Montrer que (E,+,∙) est un espace vectoriel dont (I,J) est une base. 2 2.CalculerJ. Montrer que (E,+,×) est un anneau commutatif unitaire. 2 3. a.Trouver les éléments deEtels queM=M. 2 b.Trouver les éléments deEtels queM=I. 4.Montrer queEest l’ensemble des matricesMdeMtelles queM×J=J×M.

Partie B ³ ´ −→−→−→−→−→−→−→−→ Soit P un plan vectoriel de baseı,et les vecteurse 1 =ı−ete 2 =3ı+. Pour tout couple (a;b) de réels, on noteϕ a,b l’endomorphisme de P de matrice µ ¶ a+b3b M a,b =, b b−a ³ ´ −→−→ dans la baseı,. ³ ´³ ´³ ´ −→−→−→−→ 1.Déterminer les coordonnées dans la baseı,deϕ a,b e 1 etϕ a,b e 2 ; −→−→ comparer ces deux vecteurs àe 1 ete 2 respectivement. 2.Déterminer tous les couples (a;b) de réels pour lesquelsϕ a,b est à la fois non nul et non bijectif; donner alors une base de son image et une base de son noyau. 3.Déterminer les couples (a;b) de réels pour lesquels : a.ϕ a,b est une projection sur une droite vectorielle ; caractériser cette pro jection ; b.ϕ a,b tériserest une symétrie par rapport à une droite vectorielle; carac cette symétrie.

Partie C ³ ´ −→−→ SoitPun plan affine associé àPet rapporté au repèreO,ı,. 1.On considère l’application affinefd’endomorphisme associéϕ 1 1 et laissant , 2 4 le point A(0 ; 1) invariant. Donner la nature defet ses éléments caractéristiques. ′ ′′ 2.Soitgl’application dePdansPqui au pointM(x;y) associe le pointM(x;y) tel que :  1 3  ′  x=x+y+3 2 2  1 1  ′ y=x−y+1 2 2 a.Montrer quegest une application affine dePsans point invariant et dont l’endomorphisme associé est involutif.

Rouen

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juin 1983

Le baccalauréat de 1983

A. P. M. E. P.

b.Montrer quegest la composée commutative d’une symétrie affineset −→ d’une translationtdont le vecteur est colinéaire àe 2 . Donner les élé ments caractéristiques desett. 3.Déterminer les images du planPparg◦fetf◦g. Partie D Soithla fonction deRdansRdéfinie par : 4 ¡ ¢ x h(x)= −x+log 3e+1 . 3 (log désigne le logarithme népérien.)

x −x 1.Montrer que, pour toutxréel,h(x)= +log (3+e ). 3 Étudier les variations deh. 2.Montrer que la coureCreprésentative dehadmet deux asymptotes que l’on précisera. La courbeCcoupetelle ses asymptotes ? ³ ´ −→−→ TracerCdans le repère orthonorméO,ı,(unités : 1 cm). Tracer la tangente àCau point B d’abscisse nulle. 3.Construire les transformés des asymptotes àC, du point B et de la tangente à Cen B par l’applicationg(définie à la question 2.). Utiliser ces résultats pour effectuer sur le graphique un tracé approximatif de l’image deCparg.

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