Baccalauréat ES La Réunion juin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Baccalauréat ES La Réunion juin 2004 EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats 1. La fonction f représentée (graphique 1) par la courbe (C ) est définie sur ]0 ; +∞[ par f (x)= (ax+b) lnx où a et b sont deux constantes que l'on calcu- lera dans la suite de cette question. Sur le graphique 1 sont placés les points A(1 ; 0), B(2 ; 0) et E(0 ; ?1). Les points A et B appartiennent à la courbe (C ), la droite (AE) est tangente à la courbe (C ) en A. a. Donner par lecture graphique f (2) et f ?(1). b. En déduire que a et b sont solutions du sys- tème { a+b = 1 2a+b = 0 c. Déterminer a et b. 0 1 2 3 4 -2 -1 0 1 2 3 1 2 3 0 1 2 ?1 ?2 A B E ?? ı ?? ? C graphique 1 2. Soit G une primitive de la fonction f repré- sentée par la courbe (C ) du graphique 1. Parmi les trois courbes (C1), (C2), (C3) propo- sées sur le graphique 2, quelle est la seule qui peut représenter G dans le repère ( O, ?? ı

• roue r2


• sommets dans l'ordre alphabétique


• millier d'envois sur l'axe des abscisses


• allure du nuage de points


• degrés des sommets


• baccalauréat baccalauréat

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 2004
• Nombre de lectures: 34
• Langue: Français

Extrait

BaccalauréatESLaRéunionjuin2004
EXERCICE1 5points
Communàtouslescandidats
1.Lafonction f représentée(graphique1)par
lacourbe(C)estdéfiniesur]0; +∞[par 3
f(x)=(ax+b)lnx
2
2où a et b sontdeuxconstantesquel’oncalcu-
leradanslasuitedecettequestion.
1
Sur le graphique 1 sont placés les points A(1; 1
→−0),B(2;0)etE(0; −1). 
0 ABLes points A et B appartiennent à la courbe 0
→−(C),ladroite(AE)esttangenteàlacourbe(C) 123ı
enA. -1
−1a.Donnerparlecturegraphique f(2)et f (1). E
Cb.Endéduireque a et b sontsolutionsdusys- -2a+b = 1 −2tème 0 1 2 3 42a+b = 0
graphique1c.Déterminer a et b.
3 (C )1
2
2
2.Soit G une primitive delafonction f repré- (C )2
sentéeparlacourbe(C)dugraphique1. 1
1
Parmilestroiscourbes(C ), (C ), (C )propo-1 2 3 →−
sées sur le graphique 2, quelle est la seule qui 0→− →− 0peutreprésenter G danslerepère O, ı ,  ? →−
ı123
Justifiervotreréponse.
-1
−1
-2 (C )3−2
0 1 2 3 4
graphique2
3.Onadmetàpartirdemaintenant que f estdéfiniesur[0; +∞[par
f(x)=2lnx−xlnx.
Lebutdelaquestionestdecalculeruneintégrale.
Soit F lafonctiondéfiniesur[0; +∞[par

1 1 15
2 2F(x)= 2x− x lnx−2x+ x + .
2 4 4
a. Démontrer que la fonction F est la primitive de f qui prend la valeur 2 pour
x=1. 2
b. Calculer f(x)dx. Donner une interprétation géométrique de cette inté-
1
grale.Baccalauréat BaccalauréatSjuin2004
EXERCICE2(pourlescandidatsn’ayantpasfaitlaspécialité 5points
Lorsd’unekermesse,dansunstandsontdisposéestroisroues.Chaqueroueest
diviséeendouzesecteursdemêmeaire.Uneroueétantlancée,elles’arrêtealéatoi-
rementfaceàlaflèchesurunseul secteur. Onadmettraquetous lessecteursontla
mêmeprobabilitéd’être«tirés».
Pour participer, un joueur choisit l’une des trois roues, acquitte la mise correspon-
dantàlarouechoisie,puislancecetteroue.
Silesecteur«tiré»estgrisé,lejoueurreçoitlegaincorrespondantàlarouechoisie.
R1 R2 R3
mise:1,50€ mise:1€ mise:1€
gain:8€ gain:4€ gain:2€
1. Le gain algébrique du joueur, noté g, est le gain de la loterie diminué de la
mise.
a. Pour un joueur qui a choisi la roue R1, calculer la probabilité de gagner
6,50 €, puis celle de perdre 1,50 €. En déduire le gain algébrique moyen
espérépartoutjoueurquifaitlechoixdecetteroue.
b. Unjoueurdit«aveclaroueR2,lejeuestéquitable».Qu’enpensez-vous?
1
2. Les organisateurs dela kermesse remarquent que des joueurs ont choisi la
6
1
roueR1, laroueR2etlesautreslaroueR3.
3
Oninterrogeauhasardunepersonnequiaparticipéaujeu.
Soitlesévènements :
A:«LapersonneachoisilaroueR1»,
B:«LapersonneachoisilaroueR2»,
C:«LapersonneachoisilaroueR3»,
G:«Lapersonneagagné»(c’est-à-direqu’unsecteurgriséaété«tiré»).
a. Donner la probabilité des évènements A et B. En déduire la probabilité
del’évènement C.
b. Préciserlesvaleursde: p G), p G)et p(G).A B
c. Calculerlaprobabilitédel’évènement :«LapersonneachoisilaroueR2
et elle a gagné» (on pourra traduire les données l’aide d’un arbre pon-
déré).
d. Démontrer que la probabilité de l’évènement : «La personne a gagné»
23
estégaleà .
72
e. Sachant que la personne n’a pas gagné, quelle est la probabilité qu’elle
aitjouéaveclaroueR3?
EXERCICE2(pourlescandidatsayantfaitlaspécialité 5points
LaRéunion 2 juin2004Baccalauréat BaccalauréatSjuin2004
PartieA
On note G le graphe représenté ci-dessous et M sa matrice obtenue en prenant
3lessommetsdansl’ordrealphabétique.Lamatrice M estégalementdonnée.
gc
f
eb h
a d
 
1081110125134
 82735243 
 1786123105 
 
10362111483M = 
125121188133
 
 52318026
 
 13410413269
43583690
Dire,enjustifiantvotreréponse,silesaffirmationssuivantessontvraiesoufausses:
1. L’ordredugrapheestégalauplusgranddesdegrésdessommets.
2. LegrapheGcontientunsous-graphecompletd’ordre3.
3. Les sommets de G peuvent être coloriés avec trois couleurs sans que deux
sommets adjacentssoientdemêmecouleur.
4. Il est possible de parcourir ce graphe en passant une fois et une seule par
chaquearête.
5. Ilexisteaumoinsunchemindelongueur3quireliechaquesommetàchacun
desseptautressommetsdugraphe.
6. ilya72cheminsdelongueur3quirelientlesommeteàchacundeshuitsom-
metsdugraphe.
PartieB
Legrapheprécédentreprésenteunréseaudelignesd’autobus.Lessommets du
graphedésignentlesarrêts.Lespoidsdesarêtessontlesduréesdeparcours,enmi-
nutes,entredeuxarrêts(correspondancescomprises).
LaRéunion 3 juin2004Baccalauréat BaccalauréatSjuin2004
7 gc
5 6 116
2020 f11
7 4
eb h
3 16 3
9
17a d
Déterminer,àl’aided’unalgorithme,laduréeminimumpourallerdel’arrêtaàl’ar-
rêthetdonnercetrajet.
EXERCICE3COMMUNÀTOUSLESCANDIDATS 4points
erLetableausuivant donneenFrancelenombredecentenairesau1 janvier des
annéesindiquées.
Année 1950 1960 1970 1980 1990 1998 2003
Rang x del’année 0 10 20 30 40 48 53i
Nombre y decentenaires 200 977 1122 1545 3760 6840 12871i
1. a. Quelestlepourcentaged’augmentationdunombredecentenairesentre
lepremierjanvier1950etlepremierjanvier1980?
b. Peut-onaffirmerquelenombredecentenairesaaugmentéenmoyenne
deprèsde10%paranentrelepremierjanvier1990etlepremierjanvier
2003?
2. Le nuage de points de la série statistique (x , y ) est représenté ci-dessous,i i
ainsi que la droite D d’ajustement affine de y en x obtenue par la méthode
desmoindrescarrés.
14000
12000
10000
8000
6000
4000
2000
0
020406080
rangdel’année
Enutilisantlegraphiquepréciserlenombredecentenairesquel’onpeut,avec
LaRéunion 4 juin2004
nombredecentenairesBaccalauréat BaccalauréatSjuin2004
cet ajustement, prévoir au premier janvier 2010. Ce nombre semble-t-il réa-
listeparrapportauxvaleursobservées?
3. L’allure du nuage de points invite à chercher un ajustement exponentiel. À
cettefin,onpose z =ln(y ).i
−4a. Recopier et compléter le tableau où les nombres seront arrondis à 10
près.
Rang x del’année 0 10 20 30 40 48 53i
z =ln(y )i i
b. Enutilisantlacalculatrice,déterminer,parlaméthodedesmoindrescar-
rés, une équation de la droite d’ajustement affine de z en x (les coeffi-
−4cientsserontarrondisà10 près).
c. Endéduireuneestimationdunombredecentenairesquel’onpeut,avec
cetajustement exponentiel, prévoiraupremierjanvier2010.
EXERCICE4COMMUNÀTOUSLESCANDIDATS 6points
Une entreprise décide,pour lapromotion denouveaux produits, de mener une
campagne publicitaire. Elle envisage la distribution d’un dépliant aux consomma-
teurs.
Le butde l’exercice est dedéterminer le nombre d’envois permettant àl’entreprise
deréaliserunbénéficemaximal.
1. Soitlafonction R définiesur[0; +∞[par
−0,1x+0,1R(x)= xe .
−0,1x+0,1 a. Justifierque R (x)=(1−0,1x)e ,oùR désignelafonctiondérivée
de R.
b. Étudier les variations de R, puis dresser son tableau de variations. On
admettraque lim R(x)=0.
x→+∞
2. Uneétudepréalableamontréquelemontant total, en milliers d’euros, des
recettesattenduesàl’issuedecettecampagnepeutêtreestimépar R(x),pour
x ∈[1; 15],où x représentelenombred’envoienmilliers.
a. Représenter R sur l’intervalle [1; 15] (unités graphiques : 1 cm pour un
millierd’envoissurl’axedesabscisseset1cmpourunmillierd’eurossur
l’axedesordonnées).
b. Lecoûttotalenmilliers d’eurosdecettecampagneest C(x)=0,4+0,3x
pour x∈[1; 15].
Représentercettefonctiondanslemêmerepèrequeceluiutilisé pourla
fonction R.
3. Le bénéfice envisagé à l’issue de cette campagne publicitaire est donné par
B(x)= R(x)−C(x)pourtoutréel x de[1;15].
a. Donner, avec la seule précision que l’on peut obtenir par lecture gra-
phique,lesvaleursde x quiassurentunbénéficepositif.
b. On nomme B la fonction dérivée de la fonction B.ÉtablirqueB (x) =
−0,1x+0,1(1−0,1x)e −0,3.
c. Soit B la fonction dérivée de B . Voici la courbe représentative de B
tellequ’elleapparaîtàl’écrand’unecalculatricegraphique.
L’axe des abscisses est gradué de 1 en 1 depuis 0 jusqu’à 15. L’axe des
ordonnéesestgraduede0,1en0,1de−0,2à0,1.
LaRéunion 5 juin2004
Baccalauréat BaccalauréatSjuin2004
Donner par lecture graphique le signe de B puis dresser le tableau de
variationsde B sur[1;15].
d. En déduire que l’&#