Baccalaureat L 2002 TOUTES SESSIONS 32 Pages

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[BaccalauréatL2002\ L’intégraledeseptembre2001à juin2002 Pourunaccèsdirectcliquezsurlesliensbleus Franceseptembre2001 ................................3 AmériqueduNordjuin2002 ...........................5 Antillesjuin2002 ......................................9 Centresétrangersjuin2002 ..........................12 Francejuin2006 .....................................16 Japonjuin2002 ...................................... 20 LaRéunionjuin2002 ................................24 Libanjuin2002 .......................................27 Polynésiejuin2002 .................................. 29BaccalauréatL L’année2002 2[BaccalauréatLFranceseptembre2001\ Duréedel’épreuve:3heures Coefficient:4 Une feuille de papier millimétré, qui sera utilisée dans le problème, est remise au candidataveclesujet. L’usagedescalculatricesestautorisé. Leformulaireofficieldemathématiques estjointausujet. EXERCICE 1 4points 1 u+ v = 0 21. Résoudrelesystème (u etv réels). 1 3 u− v = 4 2 2. Soit f unefonctiondéfiniesurRpar b xf(x)=ae + (a et b réels). xe +1 Trouver les valeurs des réels a et b, sachant que la courbe représentative de³ ´→− →− la fonction f dans un repère O, ı ,  passe par O et que la tangente à la 3 courbeencepointestparallèleàladroiteΔd’équation y= x−2. 2 3. Soitg lafonctiondéfiniesurRpar 2 xg(x)=e − . xe +1 a. RésoudredansRl’équation g(x)=0. b. RésoudredansRl’inéquation g(x)>1. EXERCICE 2 5points Danscetexercice,lesquestions1,2et3sontindépendantes. Une urne A contient trois pièces de monnaie en cuivre et deux pièces en argent. UneurneBcontientquatrepiècesdemonnaieencuivreetunepièceenargent.On considèrequedanschaqueurne,toutes lespiècesétantindiscernablesautoucher, chaquepiècealamêmeprobabilitéd’êtretirée. 1. On enlève une pièce de l’urne A et une pièce de B. Quelle est la probabilité pourque,àl’issuedecesdeuxopérations,lesdeuxurnesaientlamêmecom- position? 2. Lesurnesontlacompositiondonnéeaudébutdel’exercice. Ontiresimultanémenttroispiècesdel’urneA;cespiècessontensuiteplacées dansB.Soit X lavariablealéatoirequiprendpourvaleurlenombredepièces encuivrecontenuesdansBàl’issuedecesopérations. a. MontrerquelavaleurminimalepriseparX est5. b. DéterminerlaloideprobabilitédeX. c. Calculerl’espérancemathématiquedeX.BaccalauréatL L’année2002 3. Lesurnesontànouveaulacompositiondonnéeaudébutdel’exercice.Ontire une pièce de A, que l’on place dans B, puis on enlève une pièce de B. Quelle est la probabilité pour que l’urne B ne contienne que des pièces en cuivre à l’issuedecesopérations? PROBLÈME 11points Onprendrasoindefairefigurersurlacopielescalculsintermédiairesconduisant auxrésultatsprésentés. Onconsidèrelafonction f définiesur]1;+∞[par f(x)=2x+ln(x−1)−lnx.³ ´→− →− Le plan étant rapporté à un repère orthogonal O, ı ,  , on appelleC la courbe représentativede f. PartieA:étudedelafonctionf etdelacourbeC 1′1. Montrer que f (x)=2+ et en déduire le sens de variations de f sur x(x−1) ]1;+∞[. 2. a. Calculerlalimitede f en1.Ã ! 1 b. Vérifierque f(x)=2x+ln 1− etendéduirelalimitede f en+∞. x 3. Dresserletableaudevariationsde f. 4. Montrerqueladroited’équation y=2x estasymptoteàlacourbeC en+∞. ÉtudierlapositiondeC parrapportàΔ. 5. Montrerque,sur l’intervalle [2; 3], l’équation f(x)=4 admetune unique so- lutionα.Donnerunevaleurapprochéedeαaucentièmeprès. 6. Construire lacourbeC etla droiteΔ surune feuille depapier millimétré (on prendra comme unités : 2 cm sur l’axe des abscisses et 1 cm sur l’axe des or- données). 27. a. MontrerquelafonctionF définieparF(x)=x +(x−1)ln(x−1)−xlnx estuneprimitivede f sur]1;+∞[. b. Endéduirel’aire,exprimée enunités d’aires, dudomaine duplan com- prisentrel’axedesabscisses, lacourbeC etlesdroitesd’équation x=2 etx=3. PartieB:étuded’unesuite Onconsidèrelasuite (u ) determegénéralu = f(n)−2n (n entiernatureln n>2 n supérieurouégalà2). 1. Étudierlesignedeu enfonctionden.n 2. Pourtoutentiern supérieurouégalà2,onposeS =u +u +...+u .n 2 3 n 1 3. a. MontrerqueS =ln .n n b. Déterminerlalimitedelasuite(S ) .n n>2 France 4 septembre2001[BaccalauréatLAmériqueduNordjuin2002\ Durée:3heures LECANDIDATTRAITERAOBLIGATOIREMENTL’EXERCICE1ETL’EXERCICE2ET AUCHOIXSOITL’EXERCICE3SOITL’EXERCICE4. L’usagedelacalculatriceestautorisépourcetteépreuve.L’attentiondescandidats estattiréesurlefaitquelaqualitédelarédaction,laclartéetlaprécisiondes raisonnementsentrentpourunepartimportantedansl’appréciationdescopies. Unefeuilledepapiermillimétréestmiseàladispositionducandidat EXERCICE 1 OBLIGATOIRE 8points PartieA 2Soit g la fonction définie sur [-1; 8] par g(x)= x −6x+5 et représentée ci- dessous. 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 →− 0 →−-2 -1 O 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9-1 ı -2 -3 -4 -5 1. a. Résoudregraphiquementl’équation g(x)=0.BaccalauréatL L’année2002 b. Endéduirelesignedeg(x)surl’intervalle[-1;8]. c. Résoudregraphiquementl’équation g(x)=−3. 2. a. Lafonctiong admet-elleunminimumsur[-1;8]? b. Vérifierqueg(x)=(x−1)(x−5)pourx appartenantà[-1;8]. c. Retrouverlesignedeg(x)âl’aided’untableau. PartieB 3 2Soit f lafonctiondéfiniesur[-1;8]par f(x)=0,2x −1,8x +3x+4. Onappelle(C)sacourbereprésentativedansleplanmunid’unrepèreortho-³ ´→− →− normal O, ı ,  (unitédelongueur1cm). ′a. Calculerladérivéede f notée f . ′b. Vérifierque f (x)=0,6g(x)pourtout x de[-1;8](g estlafonctionétu- diéedanslapartieA). ′Endéduirelesigne de f (x)et letableau desvariationsdelafonction f sur[-1;8]. ³ ´→− →− c. Tracer(C)danslerepère O, ı ,  . EXERCICE 2 7points eUnhypermarché,àl’occasiondeson25 anniversaire,organiselejeusuivant: Dansun premier temps, chaque client reçoit lors de son passage en caisse un bul- letin. Ce bulletin comprend 9 cases, 3 rouges et 6 vertes, sous une pellicule grise à gratter. Chaqueclientdoitgratterseulement3cases. -sileclientdécouvre3casesrouges,ilgagneunbond’achatde100euros, -sileclientdécouvre3casesvertes,ilgagneunbond’achatde5euros, -danstouslesautrescas,lebulletinestperdant. Dansundeuxièmetemps,seulslesbulletinsperdantsportantlenomduclientsont placés dans une urne pour une loterie ultérieure. Un client ne peut déposer qu’un seulbulletindanscetteurne. Touslesrésultatsserontdonnéssousformedefractionsirréductibles. 1. Calculerlesprobabilitésdesévènementssuivants: a. A «un client du magasin gagne un bon d’achat de 100 euros après un passageencaisse». b. B«unclientdumagasingagneunbond’achatde5eurosaprèsunpas- sageencaisse». 2. Endéduirequelaprobabilitédel’évènement«unclientnegagnerienaugrat- 3 tage»est . 4 3. MonsieurM.effectuequatrepassagesencaissedurantlapériodedujeu. DeterminerlaprobabilitéqueMonsieurM.gagneexactementdeuxbonsd’achats. 4. Pourla loterie, 30000 bulletins ont été déposés dansl’urne. Ontire successi- vement et sans remise 100 bulletins de l’urne. Chaque bulletin tiré gagne un bond’achatde100euros. a. Déterminerlaprobabilitéqu’unbulletindéposédansl’urnesoitgagnant lorsdecetirage. b. Démontrer que la probabilité qu’un bulletin soit perdant après le grat- 1 tageetgagnantaprèsletirageest . 400 AmériqueduNord 6 juin2002BaccalauréatL L’année2002 EXERCICE 3 5points PartieA:Étuded’unesuite Soit la suite (u ) définie par u =1500000 et u =1,013u +1300 pour toutn 0 n+1 n entiernatureln. 1. Calculeru etu .1 2 2. Onposepourtoutentiernatureln, v =u +100000.n n a. Calculerv .0 b. Démontrer que, pour tout entier natureln, v =1,013v . En déduiren+1 n lanaturedelasuite(v ).n c. Déterminerv enfonctionden.n nEndéduirequeu =1600000×(1,013) −100000.n d. Calculeru .Lerésultatseraarrondiàl’entierleplusproche.18 PartieBApplication Pour cette partie, tous les résultats numériques seront arrondis à l’entier le plus proche. Uneétudedelapopulationd’undépartementlaisseapparaîtrelesinformationssui- vantes: – lapopulationestestiméeà1500000 habitantsen2002, – letauxd’accroissementnaturelestde1,3%paran, – lefluxmigratoire(différenceentrelenombredepersonnesentrantdansledé- partementetlenombredepersonnesensortant)estestiméà1300habitants paran.Onestimequecesdonnéesresterontconstantesaufildesans. 1. Déterminerlapopulationestiméedecedépartementen2003eten2004. 2. On pose w = 1500000. Pour tout entier naturel n, on désigne par w une0 n estimation dunombred’habitantsdecedépartementdurantl’année(2002+ n). a. Vérifierquew =1,013w +1300pourtoutentiernatureln.n+1 n b. En utilisant la partie A, déduire une estimation de la population de ce départementen2020. EXERCICE 4 5points PartieA:Étudedefonction p Soit f lafonctiondéfiniesur[0;200]par f(x)= 100x+49. Onappelle(C)sacourbereprésentativedansleplanmunid’unrepèreorthonormal³ ´→− →− O, ı ,  (unité:1mm). ′1. Calculerladérivéede f,notée f . ′2. Étudier le signe de f (x) et en déduire le sens de variations, de la fonction f sur[0;200]. 3. Tracer(C). 4. Résoudregraphiquementl’équation f(x)=130. PartieBApplication Ladistancedefreinagejusqu’à l’arrêtd’unvéhicule automobile estfonction de savitesseavantlefreinage. AmériqueduNord 7 juin2002BaccalauréatL L’année2002 En notant x cette distance exprimée en m (x variant de 10 à 200) et y cette vitesse −1expriméeenkm¢h . Lesexpertsd’assuranceautomobile estiment que v= f(x)où f estlafonctionétu- diéedanslapartieA. 1. Quelle est la vitesse d’un véhicule pour lequel une distance de 100 m est né- cessairepours’arrêter? 2. a. Quelle est la distance de freinage jusqu’à l’arrêt d’un véhicule roulant à −1130km¢h ? b. Lecodedelarouteimposeundélaide2secondesentrechaquevéhicule. −1Cedélaiest-ilsuffisantsilevéhicule rouleà130 km¢h ?(Justifiervotre réponse.) AmériqueduNord 8 juin2002Durée:3heures [BaccalauréatLAntilles-Guyanejuin2002\ EXERCICE 1 OBLIGATOIRE 7points Lestroispartiesdel’exercicesontindépendantes.Lesrésultatsdemandésseront donnéssousformedefractionsirréductibles. Dans cet exercice, on effectue selon différentes modalités, des tirages au hasard parmi les huit cartes que constituent les quatre dames et les quatre rois d’un jeu decartes. Préliminaire: ¡ ¢ nÉcrireletriangledePascaldonnantlesnombres pourn inférieurouégalà8. p I-Premièremodalité Ontiresimultanémentauhasardtroiscartesparmileshuitcartes. 1. Déterminerlenombredetiragespossibles. 2. Déterminerlenombredetiragesquicomprennenttroisr