Baccalauréat S

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat S 2005\ L'intégrale de septembre 2004 à juin 2005 Pour un accès direct cliquez sur les liensbleus Antilles-Guyane septembre 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 France septembre 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Polynésie spécialité septembre 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Nouvelle-Calédonie novembre 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Amérique du Sud novembre 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Nouvelle-Calédoniemars 2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Pondichéry avril 2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26 Amérique du Nord juin 2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• accès direct


• points distincts du plan


• courbe d'équation


• bac r2


• point d'affixe


• tuelles asymptotes de la courbe représentative


• totalité des points

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• Langue: Français

Extrait

[BaccalauréatS2005\
L’intégraledeseptembre2004à
juin2005
Pourunaccèsdirectcliquezsurlesliensbleus
Antilles-Guyaneseptembre2004 ........................3
Franceseptembre2004 ..................................7
Polynésiespécialitéseptembre2004 ...................12
Nouvelle-Calédonienovembre2004 ................... 15
AmériqueduSudnovembre2004 ......................19
Nouvelle-Calédoniemars2005 .........................23
Pondichéryavril2005 ...................................26
AmériqueduNordjuin2005 ........................... 29
Antilles-Guyanejuin2005 ..............................34
Asiejuin2005 .......................................... 37
Centresétrangersjuin2005 .............................41
Francejuin2005 ........................................45
LaRéunionjuin2005 ....................................51
Libanjuin2005 .........................................56
Polynésiejuin2005 .....................................61BaccalauréatS:l’intégrale2005 A.P.M.E.P.
2[BaccalauréatSAntilles–Guyaneseptembre2004\
EXERCICE 1 5points
Soit f lafonctiondéfiniesur[0; ?1[par
?x?2
f(x)?xe .
Lesdeuxpartiespeuventêtreabordéesindépendamment.
PartieA
1. Dresser le tableau des variations de f sur [0 ; ?1[ et déterminer les éven-
tuellesasymptotesdelacourbereprésentative.
2. a. Tracer sur la calculatrice graphique les courbesdela fonction f et dela
fonction logarithme népérien; on noteraL cette dernière.Conjecturer
aveccegraphiquelenombredesolutionsdel’équation
f(x)?ln(x) sur [1; ?1[.
?b. Montrerquelafonction g définiesurR par:?
g(x)?ln(x)?f(x)
eststrictementcroissantesur[1; ?1[.
Endéduirequel’équation f(x)?ln(x)admetuneuniquesolution?sur
[1; ?1[.
?3c. Déterminerà10 prèsunevaleurapprochéede?.
PartieB
1. Àl’aided’unedoubleintégrationparparties,déterminer:
Z3
2 ?2xI? x e dx.
0
2. On définit le solideS obtenu par révolution autour l’axe (Ox) de la courbe
d’équation y ? f(x) pour 06 x6 3 dans le plan (xOy) (repère orthonormal
d’unité4cm).OnrappellequelevolumeV dusolideestdonnépar:
Z3
2V ?? [f(x)] dx.
0
a. ExprimerV enfonctiondeI.
3b. Déterminer alors une valeur approchée à 1 cm près du volume du so-
lide.
EXERCICE 2 5points
Dansleplanorientémunid’unrepèreorthonormaldirect,onconsidèreABCuntri-
0angledirectsurlequelonconstruitextérieurementtroistriangleséquilatérauxBCA ,
0 0ACB et ABC . On considère respectivement les points P, Q et R centres de gravités
0 0 0respectifsdestrianglesBCA ,ACB etABC .BaccalauréatS:l’intégrale2005 A.P.M.E.P.
0? B
A Q?0 ? ?C
?R
?B ? C
?
P
?
0A
0 0 0 0 0On note a, b, c, a , b , c , p, q et r les affixes respectives des points A,B, C, A , B ,
0C ,P,QetR.
01. a. Traduire, avec les affixes des points concernés, que C est l’image de A
dansunerotationd’angledemesuredontonpréciseralecentre.
0 0 0b. Montrerquea ?b ?c ?a?b?c.
2. Endéduirequep?q?r ?a?b?c.
0 0 03. EndéduirequelestrianglesABC,A B C etPQRontmêmecentredegravité.
4. Montrerque:
0 03(q?p)?(b ?c)?(c?a )?(a?b).
0 0Onadmettraque,demême:3(r?p)?(a?c)?(b?a )?(c ?b).
5. Justifierleségalitéssuivantes:
? ? ?i 0 0 i 0 0 i
3 3 3a?c?e (b ?c); b?a ?e (c?a ); c ?b?e (a?b).
6. Déduiredesquestions4.et5.queletrianglePQRestéquilatéral.
EXERCICE 3(OBLIGATOIRE) 5points
? ?!? !?
O, u , v estunrepèreorthonormalduplanP.
SoitAlepointd’affixe1;soitBlepointd’affixe?1.
SoitF l’applicationdeP privédeOdansP qui,àtoutpointM distinctdeO,d’affixe
?10 0z ,associelepointM ?F(M)d’affixez ? .
z
?i 031. a. Soit E le point d’affixe e , on appelle E son image par F. Déterminer
0l’affixedeE sousformeexponentielle,puissousformealgébrique.
b. OnnoteC lecercledecentreOetderayon1.Déterminerl’imagedeC1 1
parl’applicationF.
5?i 062. a. Soit Kle point d’affixe2e et K l’image deKparF.Calculer l’affixe de
0K .
b. SoitC lecercledecentreOetderayon2.Déterminerl’imagedeC par2 2
l’applicationF.
i?3. OndésigneparR unpointd’affixe1?e où?2]??;?[;R appartientaucercle
C decentreAetderayon1.3
z?10a. Montrerquez ?1? .
z? ? ? ?
0 0? ? ? ?Endéduireque z ?1 ? z .
i?b. Si on considèremaintenant les points d’affixe 1?e où? décritl’inter-
valle]??; ?[,montrerqueleursimagessontsituées surunedroite.On
pourrautiliserlerésultatdea..
Antilles-Guyane 4 septembre2004BaccalauréatS:l’intégrale2005 A.P.M.E.P.
EXERCICE 3(SPÉCIALITÉ) 5points
Pourchacunedessix affirmations,diresielleestvraieousielleestfausse,enjusti-
fiantlechoixeffectué.
1. LePGCDde2004et4002est6.
pq p2. Sip etq sontdeuxentiersnaturelsnonnuls,2 ?1estdivisiblepar2 ?1et
qpar2 ?1.
? n3. Pourtoutn deN , 2 ?1n’estjamaisdivisiblepar9.
4. L’ensembledescouplesd’entierssolutionsdel’équation:
24x?35y?9
estl’ensembledescouples:
(?144?70k ; 99?24k) oùk2Z.
5. SoientAetBdeuxpointsdistinctsduplan;sionnote f l’homothétiedecentre
1
A etderapport3 et g l’homothétie decentreB etderapport alors g?f est
3
??!
latranslationdevecteurAB..
06. Soit s la similitude d’écriturecomplexe z ?iz?(1?i),l’ensemble despoints
invariantsdes estunedroite.
EXERCICE 4 5points
Pourchacunedestroisquestions,latotalitédespointsseradonnéesilaréponseest
correctementjustifiée.
Lestroisquestionssontindépendantes.
1. Laprobabilitépourunindividud’unepopulationd’êtreatteintd’unemaladie
Mestégaleà0,003.Untestdedépistage,pourcettemaladie,aétéréalisé;avec
cetest,onpeutdireque
? siunepersonneestatteintedelamaladieM,letestestpositifdans50%
descas;
? letestestpositifpour3%despersonnessaines.
Quelle est à 0,01 près la probabilité d’avoir la maladie M lorsque le test est
positif?
0,95 0,9 0,15 0,05
2. Onconsidèreuneplancheàclousdecetype:
B
clou0,3 0,7
R R R R1 2 3 4
On lance une boule B du haut de la planche, elle tombe alors dans l’un des
quatre récipients notés R ,R , R et R .À chaque étape, la bille a une proba-1 2 3 4
bilitéde0,3 d’allerverslagaucheet0,7d’aller versladroite(gaucheetdroite
relativesàl’observateur).
Onnote p la probabilitéque la bille tombe danslebac R oudansle bacR1 1 3
etp laprobabilitéquelabilletombedanslebacR oudanslebacR .2 2 4
Antilles-Guyane 5 septembre2004BaccalauréatS:l’intégrale2005 A.P.M.E.P.
Quevalentp etp ?1 2
p ?p ?0,5 p ?0,216etp ?0,7841 2 1 2
p ?0,468etp ?0,532 p ?0,468et p ?0,432.1 2 1 2
3. Les1000premièresdécimalesde?sontdonnéesiciparunordinateur:
1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510
5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679
8214808651 3233066470 9384460959 0582235725 3594085234
8111745028 4102701930 5211055596 4462294895 4930301964
4288109756 6593344612 8475648233 7867831652 7120190914
5648566923 4603486534 5432664825 3393607260 2491412737
2450700660 6315580574 8815209209 6282925409 1715364367
8925903600 1133053054 8820466525 3841469519 4151160943
3057270365 7595919530 9218611738 1932611793 1051185480
7446297996 2749567355 8857527240 9122793318 3011949129
8336733624 4065664308 6025394946 3952247371 9070217986
0943702770 5392171762 9317675238 4674818467 6691051320
0056812714 5263560827 7857753427 9778900917 3637178721
4684409012 2495343054 6549585371 0507922796 8925892354
2019956112 1290219608 6403441815 9813629774 7713099605
1870721134 9999998372 9780499510 5973173281 6096318599
0244594553 4690830264 2522300253 3446850352 6193110017
1010003137 8387528865 8753320830 1420617177 6691473035
9825349042 8755460731 1595620633 8235378759 3751957781
8577805321 7122600661 3001927876 6111959092 1642019894
En groupantpar valeurs entre0 et9 cesdécimales, on obtient letableau sui-
vant:
Valeurs 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Occurrences 93 116 102 102 94 97 94 95 101 106
Avecuntableur,onasimulé1000expériencesde1000tiragesaléatoiresd’un
chiffrecomprisentre0et9.
k?9X? ?22Pour chaque expérience, on a calculé d ? f ?0,1 où f représente,k k
k?0
pourl’expérience,lafréquenceobservéeduchiffrek.
On a alors obtenu une série statistique pour laquelle on a calculé le premier
et neuvième décile (d et d ), le premier et troisième quartile (Q etQ ) et la1 9 1 3
médiane(Me):
d ?0,000422;Q ?0,000582; Me?0,000822; Q ?0,001136 ; d ?0,00145.1 1 3 9
En effectuant le calcul de d sur la série des 1 000 premières décimales de?,2
onobtient:
0,000456 0,00456 0,000314
Unstatisticien découvrant letableauetignorant qu’ils’agitdesdécimales de
?,faitl’hypothèsequelasérieestissuedetiragesaléatoiresindépendantssui-
vantuneloiéquirépartie.Ilprendunrisquede10%derejetercettehypothèse
quandelleestvraie.Accepte-t-ilcettehypothèse?
Oui Non Ilnepeutpasconclure.
Antilles-Guyane 6 septembre2004Durée:4heure