Baccalauréat S Amérique du Sud décembre

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat S Amérique du Sud \ décembre 2001 EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (unité graphique : 2 cm). On considère la courbe C dont une représentation pararnétrique est : { x = f (t) où f (t)= 2 ( cos2 t +cos t ?1 ) y = g (t) où g (t)= sin3 t + sin t avec t ? [?π ; π] On appelle M(t) le point de la courbe C défini par la valeur t du paramètre. 1. a. Étudier les positions relatives de M(t) et M(?t). b. Expliquer pourquoi il suffit alors, pour tracer C , d'étudier f et g sur [0 ; π]. Soit C ? la partie de C correspondante. 2. a. Montrer que f ?(t)=?2sin t(2cos t +1). Étudier le signe de f ? sur [0 ; π]. b. Montrer que g ?(t)= cos t ( 3sin2 t +1 ) . Étudier le signe de g ? sur [0 ; π]. c. Dans unmême tableau, faire figurer les variations de f et de g sur [0 ; π].

• unique solution


• domino constitué de chiffres pairs


• volume du solide de révolution


• calculs d'aire et de volume

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 décembre 2001
• Nombre de lectures: 24
• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat S Amérique du Sud\ décembre 2001

E X E R C IC E 1 6points Commun à tous les candidats Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (unité graphique : 2 cm). On considère la courbeCdont une représentation pararnétrique est : ½ ¡¢ 2 x=f(t) oùf(t)=2 cost+cost−1 avect∈[−π;π] 3 y=g(t) oùg(t)=sint+sint On appelleM(t) le point de la courbeCdéfini par la valeurtdu paramètre. 1. a.Étudier les positions relatives deM(t) etM(−t). b.Expliquer pourquoi il suffit alors, pour tracerC, d’étudierfetgsur [0 ;π]. ′ SoitCla partie deCcorrespondante. ′ ′ 2. a.Montrer quef(t)= −2 sint(2 cost+1). Étudier le signe defsur [0 ;π]. ¡ ¢ ′2′ b.Montrer queg(t)=cost3 sint+Étudier le signe de1 .gsur [0 ;π]. c.Dans un même tableau, faire figurer les variations defet degsur [0 ;π]. ′ 3.On veut déterminer l’intersection deCet de l’axe des ordonnées. a.A l’aide du2.montrer que l’équationf(t)=0 a une unique solution dans [0 ;π]. Soitt 0 celle solution. −1 b.Donner une valeur approchée det 0 près par défaut.à 10 c.Déterminer une valeur approchée deg(t 0 ). ³ ´ π 4.Placer les pointsM(0),M(t 0 ),M,M(π). 2 ′ ′ Construire les tangentes àCparallèles aux axes de coordonnées. TracerC puis en déduire la courbeC.

E X E R C IC E points2 6(d’après Nathan) Commun à tous les candidats Soit (u n ) la suite numérique définie surNpar : ½ u 0 =0 u n+1 =3u n +4 1. a.Montrer que (u n ) est majorée par 4. b.Montrer que (u n ) est strictement croissante. c.En déduire que (u n ) converge et déterminer sa limite. 2. a.Montrer que pour tout entier natureln, on a : 1 4−u n+1 6 (4−u n ) . 2 b.Retrouver le résultat du1 c. c.Étudier la convergence de la suite (v n ) définie surNpar : 2 v n =n(4−u n ) .

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E X E R C IC E 2 4points Candidats n’ayant pas pris l’enseignement de spécialité On considère l’ensemble E = {0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Avec deux chiffres distinctsxetyde E on crée un unique domino simple noté indif x yy x féremment ou. z z Avec un chiffrez.de E, on forme un unique domino double noté 1.Montrer que l’on peut ainsi créer 36 dominos. 2.On tire au hasard un domino. a.Quelle est la probabilité d’obtenir un domino constitué de chiffres pairs ? b.Quelle est la probabilité d’obtenir un domino dont la somme des chiffres est paire ? 3.On tire au hasard et simultanément deux dominos. Un élève affirme : « la probabilité d’obtenir un domino double et un domino 4 simple dont l’un des chiffres est celui du domino double est égale à». 45 Son affirmation estelle vraie ou fausse ? (La réponse sera justifiée).

E X E R C IC E 2 4points Candidats ayant choisi l’enseignement de spécialité Soitnun entier naturel non nul. On considère les nombresaetbtels que : 3 22 a=2n+5n+4n+1 etb=2n+n. 1.Montrer que 2n+1 diviseaetb. 2.Un élève affirme que le PGCD deaetbest 2n+1. Son affirmation estelle vraie ou fausse ? (La réponse sera justifiée.)

P R O B L È M E 10 points. On considère la fonctionfdéfinie surRpar : −2x f(x)=(2x+1)e ³ ´ −→−→ et sa courbe représentativeCO,dans le repère orthonormalı,(unité gra phique : 2 cm). Partie A : étude de la fonctionf 1. a.Déterminer la limite defen+∞. Que peuton en déduire pourC? b.Déterminer la limite defen−∞. ′ ′ 2.Calculerf(x) et étudier le signe defsurR. 3.Dresser le tableau de variations def. 4. a.Déterminer les coordonnées du point A d’intersection deCavec l’axe des abscisses. b.Étudier le signe def(x) suivant les valeurs dex.

Partie B : étude d’une tangente ′′ 1.On rappelle quefdésigne la dérivée seconde def. ′′ −2x a.Montrer que, pour toutxréel,f(x)=4(2x−1)e . ′′ b.Résoudre l’équationf(x)=0.

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Baccalauréat S

1 2.Soit B le point d’abscissede la courbeC. Déterminer une équation de la 2 tangente T àCen B. 3.On veut étudier la position relative deCet T : pour cela, on considère la fonc tiongdéfinie surRpar : µ ¶ 2 3 g(x)=f(x)− −x+ . e e ′ ′′ a.Déterminerg(x) etg(x). ′′ b.Étudier le signe deg(x) suivant les valeurs dex. ′ En déduire le sens de variations degsurR. ′ c.En déduire le signe deg(x) puis le sens de variation degsurR. d.Déterminer alors le signe deg(x) suivant les valeurs dex. Que peuton en conclure sur la position relative deCet T ? ³ ´ −→−→ 4.Dans le repèreO,ı,placer les points A et B puis tracer la tangente T et la courbeC.

Partie C : calculs d’aire et de volume 1.Soitλun réel strictement positif. On note A(λ), l’aire, exprimée en unités d’aire, du domaine limité par la courbe 1 C, l’axe des abscisses et les droites d’équationsx= −etx=λ. 2 a.À l’aide d’une intégration par parties, calculer A(λ) en fonction deλ. b.Déterminer lim A(λ). λ→+∞ 2. a.On considère les fonctionshetHdéfinies surRrespectivenient par : µ ¶ 3 5 2−4x2−4x h(x)=(2x+1) eetH(x)= −x−x−e . 2 8 Montrer queHest une primitive dehsurR. b.On considère le domaine E limité par la courbeC, l’axe des abscisses et 1 1 les droites d’équations= −etx=. 2 2 On note V le volume du solide de révolution engendré par la rotation de E autour de l’axe des abscisses. Z 1 2 2 On rappelle que V, en unités de volume, est exprimé par V =π|f(x)|dx. 1 − 2 Déterminer la valeur exacte de V en unités de volume puis une valeur −3 approchée de V à 10près.

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