Baccalauréat S La Réunion juillet

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat S La Réunion juillet 1999 \ Exercice 1 5 points On dispose d'un cube en bois de 3 cm d'arête, peint en bleu. On le découpe, pa- rallèlement aux faces, en 27 cubes de 1 cm d'arête. On place ces 27 cubes dans un sac. Partie A On tire au hasard l'un des 27 cubes du sac. On suppose que les tirages sont équipro- bables. Soit X la variable aléatoire qui, à chaque tirage, associe le nombre de faces peintes sur le cube tiré. 1. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X . 2. Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire X . Partie B On tire maintenant, au hasard, simultanément deux des 27 cubes du sac. On sup- pose que les tirages sont équiprobables. 1. Montrer que la probabilité d'avoir, au total, six faces peintes est égale à 28 351 . 2. Ondésigneparn unnombre entier naturel nonnul ; après avoir noté le nombre de faces coloriées sur les deux premiers cubes tirés, on les remet dans le sac et on recommence l'opération de manière à effectuer n tirages successifs et indépendants de deux cubes. a. Calculer la probabilité pn pour que l'onobtienne, au total, 6n faces peintes. b. Déterminer la plus petite valeur de n pour que pn soit inférieurà 10?12.

• courbe


• points d'affixes respectives


• écriture complexe de la similitude directe? de centre? d'affixe


• ?? d'affixe z


• repère orthonormat direct


• loi de la probabilité de la variable aléatoire


• plan complexe

Sujets

• Courbe
• Plan d'Argand

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juillet 1999
• Nombre de lectures: 52
• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat S La Réunion juillet 1999\

Exercice 15 points On dispose d’un cube en bois de 3 cm d’arête, peint en bleu. On le découpe, pa rallèlement aux faces, en 27 cubes de 1 cm d’arête. On place ces 27 cubes dans un sac. Partie A On tire au hasard l’un des 27 cubes du sac. On suppose que les tirages sont équipro bables. SoitXla variable aléatoire qui, à chaque tirage, associe le nombre de faces peintes sur le cube tiré. 1.Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoireX. 2.Calculer l’espérance mathématique de la variable aléatoireX.

Partie B On tire maintenant, au hasard, simultanément deux des 27 cubes du sac. On sup pose que les tirages sont équiprobables.

28 1.Montrer que la probabilité d’avoir, au total, six faces peintes est égale à. 351 2.On désigne parnun nombre entier naturel non nul ; après avoir noté le nombre de faces coloriées sur les deux premiers cubes tirés, on les remet dans le sac et on recommence l’opération de manière à effectuerntirages successifs et indépendants de deux cubes. a.Calculer la probabilitép n pour que l’on obtienne, au total, 6nfaces peintes. −12 b.Déterminer la plus petite valeur denpour quep n soit inférieurà 10. Les résultats des calculs de probabilités seront donnés sous forme frac tionnaire.

Exercice 2 (spécialité)5 points ³ ´ −→−→ Le plan complexe est rapporté à un repère orthonorrnal directO,u,v(unité gra phique : 2 cm). On considère l’applicationfqui, à chaque pointMd’affixeznon nulle, associe le ′ ′ pointMd’affixezdéfinie par 1 ′ z= z oùzdésigne le conjugué dez. On désigne par A et O les points d’affixes respectives−i et i. 1.SoitC 1 le cercle de centre A et de rayon 1, privé de O. a.Pour tout nombre complexeznon nul, démontrer que :

′ ′ ¯¯¯ ¯ z+i=zéquivaut à|z+i| =1. ′ b.En déduire l’ensembleC, image deC 1 parf. 1 ′ c.TracerC 1 etCsur une même figure. 1 2.SoitC 2 le cercle de centre A et de rayon2. a.Montrer que, pour tout nombre complexeznon nul, 2 ′2 2 ¯¯ z−i=2 équivaut à|z+i| =2 (on pourra utiliser|Z| =Z Z). ′ b.En déduire l’ensembleCimage deC 2 parf. 2 ′ c.TracerC 2 etCsur la figure précédente. 2

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3. a.Donner l’écriture complexe de la similitude directeσde centreΩd’affixe π 1+.i de rapport 2, et d’angle 2 b.Montrer queσ◦fest l’application qui, à chaque pointMd’affixeznon ′′ ′′ nulle, associe le pointMd’affixeztelle que 2i+(3−i)z z"=. z c.À l’aide des questions précédentes, déterminer les ensemblesΓ 1 etΓ 2 , images respectives deC 1 etC 2 parσ◦f. d.Tracer tes ensemblesΓ 1 etΓ 2 sur la figure précédente.

Exercice 2 (obligatoire)5 points ³ ´ −→−→ Le plan est rapporté à un repère orthonormat directO,u,v(unité graphique 1 cm). On considère la courbe paramétrée (Γ), ensemble des pointsM(t) dont les coor données (x(t),y(t)) sont définies, pour tout réeltappartenant à l’intervalle [−π;π] par : ½ x(t)=5 cost y(t)=3 sint

Partie 1On se propose, dans cette partie, de tracer la courbe (Γ). 1.Recherche d’un intervalle d’étude. a.Par quelle transformation géométrique le pointM(−t) estil l’image du pointM(t) de (Γ) ? b.Par quelle transformation géométrique le pointM(π−t) estil l’image du pointM(t) de (Γ) ? c.Expliquer comment, pour tracer ta courbe (Γ), on peut limiter l’étude à £ ¤ π l’intervalle 0; . 2 2.Tracé de (Γ). a.étudier le sens de variation de chacune des fonctionsxetysur l’inter £ ¤ π valle 0; . 2 ¡ ¢ π b.Tracer la courbe (Γ) avec ses tangentes aux pointsM(0) etM. 2 Propriété géométrique liée à la courbe (Γ) ′ Soient F et Fles points d’affixes respectives 4 et−4. Le pointM, de paramètret, appartenant à la courbe (Γ), on notez=x(t)+iy(t) son −→ affixe. SoitWle vecteur d’affixew= −5 sint+3i sint. 2 2 1.Démontrer que 16−z=w. ³ ´³ ´ −−→ −→−→ −−→ ′ 2.En déduire queMF ,W=W, FMmodulo 2π. 3.Comment la propriété précédente permetelle de construire la tangente en tout point de la courbe? Réaliser cette construction pour le point de para π mètre . 3

Problème 5points L’objet du problème est d’étudier une fonctionfpuis d’examiner des intégrales qui en sont issues. ³ ´ −→−→ Le plan est rapporté à un repère orthonormalO,ı,(unité graphique 3 cm). Partie A

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On considère la fonctionfdéfinie sur l’intervalle [0 ;+∞[ par : ¡ ¢ x−x f(x)=ln e+e ;

on désigne par (C) sa courbe représentative dans le plan. 1. a.Déterminer la limite defen+∞. b.Montrer que, pour toutxappartenant à l’intervalle [0 ;+∞[ on a : ¡ ¢ −2x f(x)=x+ln 1+e .

c.En déduire que la courbe (C) admet comme asymptote la droite (Δ) d’équationy=x. d.Étudier la position relative de (C) et (Δ). 2.Étudier le sens de variation defet dresser son tableau de variations. 3.Tracer la droite (Δ) et la courbe (C). Partie B Pour toutxappartenant à l’intervalle [0 ;+∞[ on pose Z x ¡ ¢ −2t F(x)=ln 1+e dt. 0 On ne cherchera pas à calculerF(x). 1.Soitxun réel strictement positif. En utilisant la question1de la partie A, don ner une interprétation géométrique deF(x). 2.Étudier le sens de variation deFsur l’intervalle [0 ;+∞[. 3.Soitaun réer strictement positif. a.Montrer que, pour touttappartenant à l’intervalle [1 ; 1+a], on a 1 1 6 6 1. 1+a t b.En appliquant le théorème des inégalités des accroissements finis à la a fonction logarithme, établir que 6 ln(1+a) 6 a. 1+a 4.Soitxun réel strictement positif. Déduire de la question3: Z Z x −2t x e −2t dt 6 F(x) 6 e dt. −2t 0 1+e 0 1 1 ¡ ¢ 1 1 −2t−2x puis ln2−ln 1+e 6 F(x) 6 −e . 2 22 2 5.On admet que la limite deF(x), lorsquextend vers+∞existe et est un nombre réel notéℓ. 1 1 Établir queln 2 6 ℓ 6 . 2 2 Z n+1 ¡ ¢ −2t 6.Pour tout entier natureln, on pose :u n =ln 1+e dt. n ¡ ¢ −2t a.Montrer que, pour tout entier natureln, on a : 0 6 u n 6 ln 1+e dt. (On pourra utiliser le sens de variations de la fonctionh, définie sur [0:+∞[ ¡ ¢ −2t parh(t)=ln 1+e ). b.Déterminer la limite de la suite (u n ). 7.Pour tout entier natureln, on poseS n =u 0 +u 1 +u 2 +. . .+u n . a.ExprimerS n à l’aide deFetn. b.La suite (S n ) estelle convergente ? Dans l’affirmative, donner sa limite.

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