Baccalauréat S Métropole juin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat S Métropole 19 juin 2008 \ EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats Les courbes C f et Cg données ci-dessous représentent respectivement, dans un re- père orthonormal ( O, ?? ı , ??? ) , les fonctions f et g définies sur l'intervalle ]0 ; +∞[ par : f (x)= lnx et g (x)= (lnx)2. 1 e 1 ?? ı ??? C f Cg 1. On cherche à déterminer l'aire A (en unités d'aire) de la partie du plan ha- churée. On note I = ∫e 1 lnx dx et J = ∫e 1 (lnx)2 dx. a. Vérifier que la fonction F définie sur l'intervalle ]0 ; +∞[ par F (x)= x lnx?x est une primitive de la fonction logarithme népérien. En déduire I . b. Démontrer à l'aide d'une intégration par parties que J = e?2I . c. En déduire J .

• points d'affixes respectives


• ?? je?


• cg données


• appelée fonc- tion de fiabilité


• point de la courbe cg


• points commun


• repère orthonormal direct

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 2008
• Nombre de lectures: 30
• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat S Métropole 19 juin 2008\

E X E R C IC E 1 Commun à tous les candidats

5 points

Les courbesC f etC g données cidessous représentent respectivement, dans un re ³ ´ −→−→ père orthonormalO,ı,, les fonctionsfetgdéfinies sur l’intervalle ]0 ;+∞[ par :

1 −→ 

2 f(x)=lnxetg(x)=(lnx) .

−→ 1 ı

e

C g

C f

1.On cherche à déterminer l’aireA(en unités d’aire) de la partie du plan ha churée. Z Z e e 2 On noteI=lnxdxetJ=(lnx) dx. 1 1 a.Vérifier que la fonctionFdéfinie sur l’intervalle ]0;+∞[ par F(x)=xlnx−xest une primitive de la fonction logarithme népérien. En déduireI. b.Démontrer à l’aide d’une intégration par parties queJ=e−2I. c.En déduireJ.

A. P. M. E. P.

Baccalauréat S

d.Donner la valeur deA. 2.Dans cette question le candidat est invité à porter sur sa copie les étapes de sa démarche même si elle n ’aboutit pas. Pourx; e], on noteappartenant à l’intervalle [1Mle point de la courbeC f d’abscissexetNle point de la courbeC g de même abscisse. Pour quelle va leur dexla distanceM Nest maximale ? Calculer la valeur maximale deM N.

E X E R C IC E points2 5 Commun à tous les candidats ³ ´ −→−→ −→ Dans l’espace muni d’un repère orthonormalO,ı,,k, on considère les points

A(1 ;1 ; 0),B(1 ;2 ; 1) et C(3 ;−1 ;2). 1. a.Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés. b.Démontrer que le plan (ABC) a pour équation cartésienne 2x+y−z−3=0. 2.On considère les plans (P) et (Q) d’équations respectivesx+2y−z−4=0 et 2x+3y−2z−5=0. Démontrer que l’intersection des plans (P) et (Q) est une droite (D), dont une représentation paramétrique est :  x= −2+t  y=3 ( t∈R)  z=t

3.Quelle est l’intersection des trois plans (ABC), (P) et (Q) ? 4.Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l’évaluation. Déterminer la distance du point A à la droite (D).

E X E R C IC E 3 5points Commun à tous les candidats La durée de vie, exprimée en heures, d’un agenda électronique est une variable aléa toireXqui suit une loi exponentielle de paramètreλoùXest un réel strictement positif. Z t −λx On rappelle que pour toutt > 0,P(X 6 t)=λe dx. 0 La fonctionRdéfinie sur l’intervalle [0 ;+∞[ parR(t)=P(X>t) est appelée fonc tion de fiabilité. 1.Restitution organisée de connaissances −λt a.Démontrer que pour toutt > 0 on aR(t)=e . b.Démontrer que la variableXsuit une loi de durée de vie sans vieillisse ment, c’estàdire que pour tout réels > 0, la probabilité conditionnelle P X>t (X>t+s) ne dépend pas du nombret > 0. 2.Dans cette question, on prendλ=0,000 26. a.CalculerP(X 6 et1 000)P(X>1 000). b.Sachant que l’évènement (X>est réalisé, calculer la probabilité1 000) de l’évènement (X>2 000).

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A. P. M. E. P.

Baccalauréat S

c.Sachant qu’un agenda a fonctionné plus de 2000 heures, quelle est la probabilité qu’il tombe en panne avant 3 000 heures ? Pouvaiton prévoir ce résultat ?

E X E R C IC E points4 5 Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité ³ ´ −→−→ Le plan est muni d’un repère orthonormal directO,u,v(unité graphique : 1 cm). Soient A, B et I les points d’affixes respectives 1 + i, 3−i et 2. ′ ′′2 À tout pointMd’affixez, on associe le pointMd’affixeztelle quez=z−4z. Le ′ pointMest appelé l’image deM. 1.Faire une figure sur une feuille de papier millimétré et compléter cette figure tout au long de l’exercice. ′ ′ 2.Calculer les affixes des points Aet B , images respectives des points A et B. Que remarqueton ? 3.Déterminer les points qui ont pour image le point d’affixe−5. ′2 4. a.Vérifier que pour tout nombre complexez, on a :z+4=(z−2) . ¯ ¯ ′ b.En déduire une relation entrez+4 et|z−2|et, lorsquezest différent ¡ ¢ ′ de 2, une relation entre argz+arg (4 etz−2), ′ c.Que peuton dire du pointMlorsqueMdécrit le cercleCde centre I et de rayon 2 ? π i ′ 3 5.Soient E le point d’affixe 2+J le point d’affixe2e ,−l’image de E.4 et E ³ ´ −→−→ a.Calculer la distance IE et une mesure en radians de l’angleu; IE. ³ ´ −→ −→ ′ ′ b.Calculer la distance JEet une mesure en radians de l’angleu.; JE ′ c.; on laissera apparents lesConstruire à la règle et au compas le point E traits de construction.

E X E R C IC E 4 5points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité ³ ´ −→−→ Le plan est rapporté à un repère orthonormal directO,u,v. 7 Soient A et B les points d’affixes respectivesz A =1−i etz B =7+i. 2 1.On considère la droite (d) d’équation 4x+3y=1. Démontrer que l’ensemble des points de (d) dont les coordonnées sont en tières est l’ensemble des pointsM k (3k+1,−4k−1) lorsquekdécrit l’ensemble des entiers relatifs. 2.Déterminer l’angle et le rapport de la similitude directe de centre A qui trans forme B enM −1 (−2 ; 3). 3.Soitsla transformation du plan qui à tout pointMd’affixezassocie le point ′ Md’affixe 2 15 ′ z=iz+ −i. 3 33 Déterminer l’image de A pars, puis donner la nature et les éléments caracté ristiques des. 4.On note B 1 l’image de B parset pour tout entier naturelnnon nul, B n+1 l’image de B n pars. a.Déterminer la longueur AB n+1 en fonction de AB n .

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A. P. M. E. P.

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b.À partir de quel entiernle point B n , appartient til au disque de centre A −2 et de rayon 10? c.Déterminer l’ensemble des entiersnpour lesquels A, B 1 et B n sont ali gnés.

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