Baccalauréat STI France juin Génie des matériaux mécanique B C D E

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat STI France 23 juin 2009 \ Génie des matériaux, mécanique B, C, D, E EXERCICE 1 5 points 1. (E) est une équation différentielle de la forme y ?? +?2y = 0, avec ? = 12 . Les solutions de cette équation sont donc de la forme : y = Acos ( 1 2 x ) +B sin ( 1 2 x ) . 2. a. Comme C f passe par le point A, on en déduit que f (0) = 1. Comme la tangente à la courbe admet pour pente 12 , on en déduit que f ?(0)= 12 . b. f (0)= 1 entraine que Acos(0)+B sin(0)= 1 soit A = 1. f ?(x)=? 12 sin ( 1 2 x ) + B2 cos ( 1 2 x ) . Comme f ?(0)= 12 que A sin(0)+ B 2 cos(0)= 1 2 . Donc B = 1 2 . On en déduit que f (x)= cos ( 1 2 x ) + sin ( 1 2 x ) . 3. Voir la figure 1. 1 2 3 4 ?1 2 4 6?2 A + pi FIGURE 1 – Corrigé 4.

• argument ? de za


• solution de l'équation


• équation de la tangente au point d'abscisse


• pied de la hauteur et de la médiane


• ex ?

Sujets

• France 3
• France 4
• France 2

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 2009
• Nombre de lectures: 28
• Langue: Français

Extrait

[BaccalauréatSTIFrance23juin2009\
Géniedesmatériaux,mécaniqueB,C,D,E
EXERCICE1 5points
1′′ 21. (E) est une équation différentielle de la forme y +ω y = 0, avecω= . Les
2
solutions decetteéquationsontdoncdelaforme:
µ ¶ µ ¶
1 1
y=Acos x +Bsin x .
2 2
2. a. CommeC passe par le point A, on en déduit que f(0)=1. Comme laf
1 1′tangenteàlacourbeadmetpourpente ,onendéduitque f (0)= .
2 2
b. f(0)=1entraineque Acos(0)+Bsin(0)=1soit A=1.
¡ ¢ ¡ ¢
′ 1 1 B 1f (x)=− sin x + cos x .2 2 2 2
1 B 1 1′Comme f (0)= que Asin(0)+ cos(0)= .DoncB= .
2 2 2 2¡ ¢ ¡ ¢
1 1Onendéduitque f(x)=cos x +sin x .2 2
3. Voirlafigure1.
4
3
2
A
1
+
π
−2 2 4 6
−1
FIGURE 1–Corrigé
¡ ¡ ¢ ¡ ¢¢ ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢21 1 1 1 1 12 2 24. [f (x)] = cos x +sin x =cos +2cos sin +sin .
2 2 2 2 2 2
2 2 1Ord’aprèsleformulairecos (a)+sin (a)=1etsin(2a)= cos(a)sin(a),onen2
déduitque:
£ ¤2
f(x) =1+sin(x).
5.
Zπ£ ¤2
V =π f(x) dx
0
π
=π[x−cos(x)]0
=π(π−cos(π)−0+cos(0))
V =π π−2( )A.P.M.E.P. Géniedesmatériaux
EXERCICE2 5points
1. Unproduitdefacteursestnulsietseulementsil’undesfacteursestnul.Donc
2soit z=−4soit z −4z+16=0. Le discriminantΔ decette dernièreéquation
¡ p ¢2
vaut:Δ=16−4×16=−3×16= 4i 3 .
On en déduit que l’équation admet deux racines complexes conjuguées z =Ap p p4−4i 3=2−2i 3etz =2+2i 3.B2 p p
Lessolutions del’équationsontdonc−4,2−2i 3et2+2i 3.
p
2. |z |= 4+12=4.A
p
1 3Un argument θ de z vérifie : cos(θ)= et sin(θ)= . On en déduit queA 2 2
πθ= .3
Voirlafigure.
4
A
3
D 2
1
C
O
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−1
−2
−3
B
−4
3. a. |z |=|z |=4 carles deux nombres complexes sont conjugués. De plusA B
|z |=4.Onendéduitquelespoints A,B etC sontsurlecercledecentreC
O etderayon4.
b. Voirlafigure.
p
c. Montrons que ABC est un triangle équilatéral. AC =|z −z |= 48=A Cp p ¯ p ¯ p
¯ ¯| |4 3.ParsymétrieBC=4 3. AB= z −z = 4i 3 =4 3.Donc, ABCB A
estuntriangleéquilatéral.
Donc,D estàlafoislepieddelahauteuretdelamédiane.Onendéduit
queletriangle ACD estrectangleenD.
PROBLÈME 10points
1x1. Ona lim e =+∞donc lim =0.Onendéduitque lim f(x)=+∞.
xx→+∞ x→+∞ x→+∞e
Ondémontredemêmeque lim f(x)=+∞.
x→−∞
2x x x(e −1)(e +1)′ x 1 e −12. a. f (x)=e − = = .x x xe e e
x x ′b. Les facteurs(e +1)et e sont strictement positif, doncle signede f (x)
xestlemêmequeceluide(e −1).
xOr(e −1)>0sietseulement six>0.
France 2 23juin2009
bbbbbA.P.M.E.P. Géniedesmatériaux
5 1 50Onendéduitletableaudevariationsavec f(0)=e − + =1− +1=
02 e 2
1
− .
2
x −∞ 0 +∞
′ −f (x) 0 +
+∞ +∞
f(x)
1−2
13. a. OncalculelediscriminantΔ=9,ilyadoncdeuxsolutionsréellesX =1 2
etX =2.2
x 5 1b. f(x)=0sietseulementsie − + =0.Enréduisantaumêmedénomi-x2 e
2x x2(e ) −5e +2 xnateur on obtient : =0. Or comme e est non nul, cela
x2e
x 2 xrevientàrésoudrel’équation 2(e ) −5e +2=0.
1x x1c. On a posé X =e , et on a vu qu’il y a deux solutions X = =e donc1
2¡ ¢1grâce à la croissance de la fonction ln, x =ln =−ln(2) et de même1 2
x2X =2=e donnex =ln(2).2 2
d. Lescoordonnéesdespointsd’intersectiondelacourbeC avecl’axedesf
abscissessont −ln(2);0 et ln(2);0 .( ) ( )
−e. LafonctionestdécroissantesurR donc f(x)>0pourx<−ln(2)etpo-
+sitifentreln(2)et0.SurR lafonctionestcroissante,lafonctionestdonc
négativeentre0etln(2)puispositivepourx>ln(2).
4. Une équation de la tangente au point d’abscisse a = ln(2) est donnée par :
3ln(2)′ 3 3y= f (a)(x−a)+f(a).Cequidonne: y= (x−ln(2))= x− .2 2 2
5. Voirlafigure.
4
3
2
1
−2 −1 1 2
−1
−2
France 3 23juin2009A.P.M.E.P. Géniedesmatériaux
′ x 5 −x6. a. F (x)=e − +e = f(x).DoncF estuneprimitivede f.2
b.
Z2
2I= f(x)dx=[F(x)]ln(2)
ln(2)
1 5 12 ln(2)=e −5− −e + ln(2)+
2 ln(2)e 2 e
52 −2=e −e −6,5+ ln(2)u.a.
2
c. Voirlafigure.
2 −2 2d. A=8I=8e −8e +20ln(2)−52≈19,89cm .
France 4 23juin2009