CAPES externe

Description

Niveau: Supérieur, Bac+5
[ CAPES externe 2005 \ Première épreuve écrite

• intervalle réel


• solution réelle


• équation différentielle


• équation différentielle linéaire d'ordre


• majoration de l'erreur d'approximation


• entier relatif


• entier naturel

Sujets

• Équation différentielle
• Entier relatif
• Entier naturel

Informations

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• Langue: Français

Extrait

[CAPES externe 2005\

Première épreuve écrite

CAPES externe

Notations et objet du problème

A. P. M. E. P.

On désigne par : Nl’ensemble des entiers naturels ; Zl’anneau des entiers relatifs ; Qle corps des nombres rationnels ; ∗ Ql’ensemble des nombres rationnels non nuls ; Rle corps des nombres réels ; ∗ ∗ R[resp.Rl’ensemble des réels non nuls [resp. strictement positifs] ; + Cle corps des nombres complexes ; ∗ Cl’ensemble des nombres complexes non nuls ; Z[x] l’anneau des fonctions polynomiales à coefficients entiers relatifs. Pour tout entier natureln, on noten! la factorielle denavec la convention 0!=1. Sifest une fonction indéfiniment dérivable définie surRà valeurs réelles etkest (k) un entier naturel non nul, on notefla fonction dérivée d’ordrekdef. On utilise (0) la convention habituelle,f=f. SiIest un intervalle réel non réduit à un point etfune fonction dérivable deIdans ′ f ∗ C, on rappelle que la dérivée logarithmique def.est la fonction f La première partie de ce problème est consacrée à la démonstration de quelques résultats utiles pour la suite.

Dans la deuxième partie, à partir d’une caractérisation des sous groupes additifs deR(ils sont denses ou discrets), on déduit un critère d’irrationalité et on décrit une méthode permettant de prouver qu’un réel est irrationnel.

Cette méthode est utilisée dans la troisième partie pour montrer l’irrationalité de r e pour tout nombre rationnel non nulr. Ce procédé permet également d’obtenir des approximations rationnelles de la fonction exponentielle.

Dans la quatrième partie on s’intéresse aux racines réelles des solutions d’une équation différentielle linéaire d’ordre 2 à coefficients non constants et en particu liers aux racines réelles des fonctions de Bessel d’indice entier.

Enfin dans la cinquième partie, on montre que les racines réelles non nulles des fonctions de Bessel d’indice entier sont irrationnelles en utilisant une méthode voi sine de celle décrite dans la deuxième partie.

On rappelle la formule d’intégration par parties itérée : sia,bsont des réels tels que a<b,nun entier naturel non nul etf,gdes fonctions définies sur l’intervalle [a;b] à valeurs réelles et admettant des dérivées continues jusqu’à l’ordren, alors : " # Z Z b b n b X k+1 (n−k) (k−1)n(n) (n) f(t)g(t) dt=(−1)f g+(−1)f(t)g(t) dt. a a k=1 a

 I  Résultats préliminaires

Pour cette partie, on désigne par p un entier naturel, par P un e fonction polynomiale dansZ[x], et par n un entier nature non identiquement nulle, de degré p l.

1.SoitQla fonction polynomiale définie par :

n x ∀x∈R,Q(x)=P(x). n! (k) a.Montrer que pour tout entier naturelk,Q(0) est un entier relatif. (n+k) Q(0) b.Montrer que pour tout entier naturelkcompris entre 0 etp, k! est un entier relatif.

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2.SoitRla fonction polynomiale définie par :

A. P. M. E. P.

1 n ∀x∈R,R(x)=[x(1−x)P(x)] . n! (k) (k) a.Montrer que pour tout entier naturelkles quantitésR(0) etR(1) sont des entiers relatifs. (n) b.Montrer que la fonction polynomialeUdéfinie parU=Rappartient àZ[x]. 3.En reprenant les notations deI. 2., oùPdansZ[x] {0} est de degrép, montrer que pour toute fonctionfindéfiniment dérivable deRdansRon a : Z Z 1 1 (n)n(n) f(t)R(t) dt=(−1)f(t)R(t) dt. 0 0

 II  Sousgroupes additifs deRet critères d’irrationalité

On dit qu’un sousgroupe additif H de(R,+)deest discret si pour tout compact K R, l’intersection H∩K est vide ou finie. Pour tout réelθ, on note H θ =Z+θZle sousgroupe additif deRengendré par 1 etθ. Il est défini par : © ª 2 H θ =p+qθ|(p,q)∈Z. 1.Montrer que les sousgroupes additifs deRdiscrets sont de la forme :

αZ={pα|p∈Z},

oùαest un réel. ∗ 2.SoientHun sousgroupe additif deRnon réduit à {0} etK=H∩R. + a.Montrer queKadmet une borne inférieureαdansR + . b.Montrer que siαest strictement positif, alorsαest dans K. c.Montrer que siαest strictement positif, alorsHest discret. d.Montrer que siαest nul, alorsHest dense dansR. 3.Montrer qu’un réelθest irrationnel si et seulement si le sousgroupe additif deR,H θ =θZ+Zest dense dansR. 4.Montrer qu’un réelθest irrationnel si et seulement si il existe deux suites ¡ ¢ ¡ ¢ p n etq n d’entiers relatifs telles que : n∈Nn∈N ∀n∈N,q n θ−p n 6=0, (1) ¡ ¢ limq n θ−p n =0. (2) n→+∞ +∞ X 1 5.Montrer l’irrationalité du nombre e=en utilisant le résultat de la ques k! k=0 tion II. 4. 6.Pour cette question, on se donne un entier naturelp, une fonction polyno mialePdansZ[x] de degrépne s’annulant pas sur ]0 ; 1[ et on lui associe les définies pa suites de fonctions polynomiales (U n ) et ( L n ) n∈N r : n∈N  1  n U n (x)=[x(1−x)P(x)] , ∀n∈N,∀x∈R, n!  (n) L n (x)=U(x). n

On se donne également une fonctionfindéfiniment dérivable deRdansRet on lui associe la suite de ré définie par : els (R n ) n∈N Z 1 ∀n∈N,R n =f(t)L n (t) dt. 0

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a.On suppose que la fonctionfvérifie l’hypothèse suivante :

(n) ∀n∈N,∀t∈]0 ; 1[,f(t)6=0.

Montrer alors queR n est non nul pour tout entier natureln. b.On suppose que la fonctionfvérifie l’hypothèse suivante :

A. P. M. E. P.

(H1)

à R ! 1 (n) ¯ ¯ f(t) dt 0 il existe un réelρ>0 tel que la suite soit bornée. n ρ n∈N (H2) ¡ ¢ n Montrer que pour tout réelµla suiteµR n est convergente vers 0. n∈N c.On suppose que la fonctionfvérifie les hypothèses (H1), (H2) et l’hypo thèse suivante :

q n θ−p n ∀n∈N,R n =(H3) n αλ ¡ ¢ ¡ ¢ oùα,λ,θsont des réels non nuls etp n ,q n deux suites d’en n∈Nn∈N tiers relatifs. Montrer alors que le réelθest irrationnel.

r∗  III  Irrationalité deepourr∈Q

Pou r (U n ) n∈N N nies r cette partie, on désigne pa et (L n ) n∈ les suites de fonctions défi par :  n n x(1−x)  U n (x)=, ∀n∈N,∀x∈R, n!  (n) L(x)=U(x) n n et par (R n ) la suite de fonctions définie par : n∈N Z 1 x t ∀n∈N,∀x∈R,R n (x)=eL n (t) dt. 0 1. a.Montrer que pour tout entier naturelnet tout réelxnon nul,R n (x) est non nul. b.Montrer que pour tout entier naturelnil existe un unique couple (P n ,Q n ) de fonctions polynomiales appartenant àZ[x] de degré égal àntel que :

x ∗ Q n (x)e−P n (x) ∀x∈R,R n (x)=. n+1 x ¡ ¢ n c.Montrer que pour tout réelxlimon a, x R n (x)=0. n→+∞ r d.Montrer que pour tout entier relatif non nulr, e est irrationnel. r 2.Montrer que pour tout nombre rationnel non nulrest irrationnel., e 3.Montrer que pour tout nombre rationnelrstrictement positif et différent de 1, ln(r) est irrationnel. 4.Montrer que pour toutn∈Non aQ n (0)6=0 et que les parties régulières d’ordre P n x 2net sont identiquesdes développements limités au voisinage de 0 de e Q n (on peut utiliser I. 3). 5.Montrer que pour tout réelx,Q 2n (x) est non nul et :

P 2n (x) x lim=e . n→+∞ Q 2n (x)

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A. P. M. E. P.

6.Pour cette question,n∈2}.{1 ; P 2n (x) a.Calculer pour ces deux valeurs den. Q 2n (x) b.écisantEn déduire des approximations rationnelles du nombre e en pr une majoration de l’erreur d’approximation.

 IV  Zéros des solutions d’une équation différentielle linéaire d’ordre 2

1.SoientI=[a;b] un intervalle réel compact aveca<b,α,β, deux fonctions continues deIdansRetfune solution surInon identiquement nulle de l’équation différentielle : ′′ ′ y+αy+βy=0.

Montrer que l’ensemble des zéros dansIde la fonctionfest fini. 2.SoientIun intervalle réel non réduit à un point etf,gdeux fonctions déri ∗ vables deIdansC. Montrer quefetgont même dérivée logarithmique sur Isi, et seulement si, elles sont proportionnelles. 3.SoientIun intervalle réel non réduit à un point,aun réel dansI,fune fonc ∗iθ 0 tion continûment dérivable deIdansCetθ 0 un réel tel quef(a)= |f(a)|e . Montrer qu’il existe une unique fonctionθcontinûment dérivable deIdansR iθ(x) telle queθ(a)=θ 0 etf(x)= |f(x)|toute pour xdansI. ∗ 4.Pour cette question,αest une fonction continue deI=[a;+∞[ dansR, oùa + est un réel, etfune solution surI, à valeurs réelles, non identiquement nulle de l’équation différentielle :

′′ y+αy=0.

On désigne parrla fonction définie surIpar :

∀x∈I,r(x)=

2′2 [f(x)]+[f(x)] .

(3)

a.Montrer que la fonctionrest à valeurs strictement positives et continû ment dérivable surI. b.Montrer qu’il existe une fonctionθcontinûment dérivable et strictement décroissante deIdansRtelle que : ½ f(x)=r(x) cos(θ(x)), ∀x∈I, f"(x)=r(x) sin(θ(x)).

c.On suppose pour cette question et la suivante que la fonctionαest mi norée surIpar une constante réelleλstrictement positive. Montrer que la fonctionθréalise une bijection deIsur ]− ∞;θ(a)]. d.Montrer que l’ensemble des zéros de la fonctionfdans l’intervalleI forme une suite infinie strictement croissante de réels qui tend vers l’in fini.

5.Pour cette questionpdésigne un entier naturel et on s’intéresse aux zéros d’une solution non identiquement nulle de l’équation de Bessel d’indicep:

¡ ¢ 2′′ ′2 2 x y+x y+x−p y=0. (4) ∗ a.Soitfune solution réelle non identiquement nulle surI=Rde (4) etg + la fonction définie surIpar :

∀x∈I,g(x)=

x f(x).

Montrer quegest solution surId’une équation différentielle de la forme (3) où la fonctionαest à déterminer.

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A. P. M. E. P.

1 k b.Montrer que la série entière de terme généralx, oùkest un k!(p+k)! entier naturel, a un rayon de convergence infini et que la fonc tionJ p définie par : µ ¶ ³ ´ ³ ´ p2 x x ∀x∈R,J p (x)=I p −, 2 2 où on a noté pour tout réelx:

+∞ X 1 k I p (x)=x, k!(p+k)! k=0 est solution surRde l’équation différentielle (4) . c.Montrer que l’ensemble des zéros dansR + de la fonctionJ p forme une suite de réels qui est strictement croissante à partir d’un c ertain rang et qui tend vers l’infini.

 V  Irrationalité des zéros des fonctions de Bessel d’indice entier

Pour cette partie, p est un entier naturel fixé et les fonctions I p et J p sont celles définies enIV. 5. b. 1. a.Montrer que : ³ ´ ³ ´ d p+r′p+r−1′ ∀r∈N{0},∀x∈R,x I(x)=x I p (x)+(r−1)I(x) . p p dx

b.Montrer que : Z x p p+1′ ∀x∈R,t I p (t) dt=x I(x). p 0 c.Montrer que pour tout entier naturel non nulr, il existe deux fonctions polynomialesA r etB r appartenant àZ[x] , de degrés respectifsr−1 etr telles que : Z x ³ ´ p+r p+1′ t) dt=x A(x)I x)I(x) . ∀x∈R,t I p ( r p (x)+B r ( p 0

d.Préciser les valeurs deA r (0) etB r (0) pour tout entier naturel non nulr. e.Montrer que sixest une racine réelle de la fonctionI p alorsxest stricte ′ ment négatif et n’est pas racine deI. p

On désigne par ( U) , ( L ) les suites de fonctions polynomiales dé n n ∈N n n ∈N finies par :  n+p n x(1−x)  U n (x)=, ∀n∈N,∀x∈R, n!  (n) L n (x)=U n (x) et par (R n ) la suite de fonctions définie par : n∈N Z 1 ∀n∈N,∀x∈R,R n (x)=I p (x t)L n (t) dt. 0

2.Montrer que pour tout entier natureln, il existe deux fonctions polynomiales P n etQ n appartenant àZ[x] telles que :

′ x) P n (x)I p (x)+Q n (x)I p ( ∗ ∀x∈R,Rn(x)=, n x

avecP 0 =0,Q 0 =1, et pourn > 1,P n est de degré inférieur ou égal àn−1,Q n de degré inférieur ou égal àn, les valeursP n (0) etQ n (0) étant non nulles.

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A. P. M. E. P.

3.Pour tout entier naturelnon désigne parϕ n la fonction définie par : Z 1 (n) ∀x∈R,ϕ n (x)=I(x t)U n (t) dt. p 0

a.Montrer queϕ n est indéfiniment dérivable surRet queϕ n (0) est non nul. b.Montrer que :

′n2n ∀x∈R,P n(x)I p (x)+Q n (x)I p(x)=(−1)xϕ n (x).

c.Montrer que : |x| e ¯ ¯ ∀x∈R,ϕ n (x) 6 . n! ′ d.Montrer que pour tout réelxlim, on a P n (x)I p (x)+Q n (x)I(x)=0. p n→+∞ 4.Montrer que pour tout entier naturel non nuln, il existe une constante non nullec n telle que :

2n−2 ∀x∈R,P n−1 (x)Q n (x)−P n (x)Q n−1 (x)=c n x.

5.Montrer que pour tout entier naturel non nulnet tout réel non nulxl’une des deux quantitésR n (x) ouR n−1 (x) est non nulle. 6.Montrer que les racines réelles de la fonctionI p sont toutes irrationnelles. 7.Montrer que siαest une racine réelle non nulle de la fonction de BesselJ p , 2 alorsαest irrationnel.

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