CAPES externe mars

Description

Niveau: Supérieur, Bac+5
[ CAPES externe 10 mars 2009 \ Première épreuve 9h à 14 h

• méthode


• rappel sur les intégrales multiples


• formule de stirling


• formule de stir- ling


• raffinement asymptotique de la formule


• méthode de calcul par intégrations succéssives


• série ∑

Sujets

• Méthode
• Formule de Stirling

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 mars 2009
• Nombre de lectures: 35
• Langue: Français

Extrait

[CAPES externe 10 mars 2009\

Première épreuve

9h à 14 h

CAPES externe

Notations

A. P. M. E. P.

•SiK=RouC, pour un polynômeP(X)∈K[X] on noteraPla fonction polynôme associée àP(X). es (uéquivalentes, on notera) nt u v. •Si deux suites numériqu n n et (v n ) so n ∽ n n n De même, sifetgsont deux applications réelles définies au voisinage d’un pointx 0 et équivalentes enx 0 , on noteraf(x) ∽ x g(x). Quand le voisinage sera un voisinage 0 à droite enx 0 , on préciseraf(x) ∽ g(x). + x 0 On rappelle que leproduit au sens de Cauchyde deux séries (réelles ou complexes) P P u n etv n est la sérieΣw n où le terme généralw n est défini pourn>0 parw n = n X u n v n−k . k=0 P P On rappelle aussi que si les sériesu n etv n sont absolument convergentes, alors P la série produitw n est aussi absolument convergente et l’on a µ ¶ µ ¶ +∞ +∞ +∞ X X X u n v n =w n n=0n=0n=0

Objectifs du problème

Ce sujet aborde une série de résultats et de propriétés relat ifs à la formule de Stir 1 2 ling ainsi qu’aux polynômes et nombres dits de Bernoulli . Il se compose de quatre parties. Dans la partie I, on établit la formule de Stirling qui donne u n équivalent simple de 3 la suite (n!) n . Ce travail utilise les intégrales de Wallis , qui sont étudiées au début de la partie. La fin de la partie 1 est une application des intég rales de Wallis et de la n formule de Stirling à l’étude du volume des boules dansR.

La partie II s’intéresse aux polynômes et nombres de Bernoul li. On y étudie cer taines de leurs propriétés et l’on donne deux applications d e cette étude. La pre N X p mière, arithmétique, s’intéresse au calcul des sommes du typek. La deuxième k=0 x t te est consacrée au développement en série entière de la fonction . t e−1

4 Dans la partie III, on introduit la fonctionζet l’on explicite ses valeursde Riemann prises sur les entiers positifs pairs au moyen des nombres de Bernoulli. Ce calcul permet, avec la formule de Stirling, d’expliciter un équivalent simple pour la suite des nombres de Bernoulli.

Dans la partie IV, on revient à la formule de Stirling et l’on d écrit une méthode pour obtenir un raffinement asymptotique de la formule.

Les parties de ce sujet ne sont pas indépendantes, chacune d’elles pouvant utiliser des résultats établis dans celles qui la précèdent. Aussi pourraton utiliser pour trai ter certaines questions, les résultats établis dans les questions précédentes sans les démontrer. Il est toutefois vivement conseillé aux candidats d’aborder linéairement ce sujet.

1. James, mathématicien anglais, Garden 1692 – Édimbourg 17 70 2. Jakob (francisé en Jacques), mathématicien suisse, prem ier d’une longue lignée familiale de ma thématiciens. Bâle 1654 – Bâle 1705 3. John, mathématicien anglais, Ashford 1616 – Oxford 1703 4. Georg Friedrich Berhnard, mathématicien allemand, Bres elenz 1826 – Selasca 1866

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A. P. M. E. P.

I. Intégrales de Wallis et formule de Stirling

1.Intégrales de Wallis Pour tout entiern>0, on pose Z π 2 n W n =cos (x) dx. 0 Z π 2 n a.Montrer que, pour toutn > 0, on aW n =sin (x) dx. 0 (Indication : on pourra, par exemple, utiliser un changement de variables.) b.Montrer que la suite (W n strictement décroissante.) est n (Indication : pour la décroissance, on pourra comparer les fonctionsx→−7 n n+1 cos (x) etx7−→cos (x). Pour la stricte décroissance, on pourra raison ner par l’absurde.) c.À l’aide d’une intégration par parties montrer que, pourn > 0, on a µ ¶ n+1 W n+2 =W n n+2

d.En déduire que, pour tout entierp > 0, on a  (2p)!π  W 2 =  p 2p2 2 (p!) 2 2p2 2 (p!)   W +1 = 2p (2p+1)!

e.Montrer que, pour toutn > 0, on a π W n W n+1 = 2(n+1) (Indication : on pourra utiliser la question précédente en distinguant sui vant la parité de l’entiern) f.Prouver que, pour toutn > 0, on a

1W n+1 1<− < 1 n+2W n et en déduire queW n ∽ nW n+1 . (Indication : on pourra utiliser la question 1. b.) π g.Montrer finalement queW n ∽ n . En déduire limW n . n 2n 2. Formule de Stirling On considère la suite (u) définie, pourn > 1, par n n n n!e u n = p n n n et la suite auxiliaire (v n ) n définie, pourn > 2, par

v n =lnu n −lnu n−1 .

a.Exprimer simplementv n en fonction denet donner un développement limité à l’ordre 2 en 1/nde la suite (v n ) n . X b.En déduire que la sériev n est convergente. Montrer alors que les suites nvergent et do (lnu n ) et ( u n ) n co nc qu’il existe un réelK>0 tel que n ³ ´ n n n! ∽ n K n e

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A. P. M. E. P.

¡ ¢ c.En utilisant cet équivalent, calculer un équivalent simple de la suiteW 2p . p En déduire queK=2πet, par suite, que ³ ´ n n n! ∽ n 2πn e

(Formule de Stirling)

3. Une autre application des intégrales de Wallis [ Rappel sur les intégrales multiples et généralisation.(Ce rappel n’est utile que pour les sousquestions 3. a. et 3. c. de cette question 3.) Les notions d’intégrales doubles et triples ainsi que la mét hode de calcul par intégrations succéssives de ces dernières (présentes au programme), se généra lisent à toute dimension finie de la manière suivante : étant d onné un entier n n > 1, une partie A n ⊂Rsera dite continûment paramétrable si n=1et A 1 n−1 est un segment ou si n > 2et s’il existe une partie A n−1 ⊂Rcontinûment paramétrable et deux fonctions continues f,g:A n−1 7−→Rtelles que

© n A n = ( x 1 ,∙ ∙ ∙,x n ) ∈R/ (x 1 ,∙ ∙ ∙,x n−1 ) ∈A n−1 et f ( x 1 ,∙ ∙ ∙,x n−1 ) 6 x n 6 g ( x 1 ,∙ ∙ ∙,x n−1 )

Avec ces notations, pour une fonction continueϕ:A n →R,on définit l’intégrale multiple deϕsurA n par la formule suivante :

R R . . .ϕ ( x 1 , . . . ,x n ) dx n . . . dx 1 = A n Z Z µZ ¶ g ( x 1 , ...,x n−1 ) . . .ϕ ( x 1 . . ,, . x n ) dx n dx n−1 . . . dx 1 A n−1 f ( x 1 , ...,x n−1 )

On admettra, sans démonstration, qu’à l’instar des intégrales doubles et triples, le réel ainsi oblenu ne dépend que de la partie A n et de la fonctionϕ.Le volume Z Z de la partie A n sera alors, par définition, le réel. . . dx n . . . dx 1 .] A n On se propose d’étudier ici le comportement du volume d’une b oule de rayon fixé quand on fait varier la dimension de l’espace. Plus précisément, on se fixe n un réel R>0et pour tout entier n > 1on considère dansRla bouleB n de centre O et de rayon R: © ª n22 2 /x+x 6 R B n = ( x 1 , . . . ,x n ) ∈R 1 + ∙ ∙ ∙ n .

On note V n son volume. n a.Montrer que, pourn > 2, pour tout (x 1 ,∙ ∙ ∙,x n ) ∈R, on a

( ( x 1 ,∙ ∙ ∙,x n−1 ) ∈B n−1 ( x 1 ,∙ ∙ ∙,x n ) ∈B n ⇐⇒ 2 2 2 −R−x− ∙ ∙ ∙ −x 6 x n 6 1n−1

2 2 2 R−x− ∙ ∙ ∙ −x 1n−1

En déduire par récurrence surn > 1, queB n est continûment paramé trable. b.Soientλ>0 un réel etm>0 un entier. Montrer, en se servant par exemple d’un changement de variable utilisant la fonctiont7−→λsint, que Z λ m ¡ ¢ 2 2 2 (m+1) λ−xdx=2λW m+1 . −λ

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A. P. M. E. P.

c.En déduire que pour tout entiern > 2 et toutk=1, . . . ,n−1 on a. Ã ! Z Z k Y ¡ ¢ k k2 2 2 2 n =2W i . . .R−x V 1 − ∙ ∙ ∙ −xdx n−k ∙ ∙ ∙dx 1 . n−k B i=1 n−k

(Indication : on pourra, pournfixé, faire une récurrence finie surk.) d.Prouver finalement que, pour tout entiern > 1, on a à ! n Y n V n =W i (2R) . i=1

et par suite, que pourk > 1

et que pourk > 0

k π 2k V 2k =R k!

k! 2k+1k2k+1 V=2πR. 2k+1 (2k+1)!

ExpliciterV 1 ,V 2 ,V 3 etV 4 . e.En utilisant la formule de Stirling, donner des équivalents simples des suite k ) k e . s (V 2 t (V 2k+1 ) k f.En déduire que limV n =0. g.soit il existe un range ante, Montrer que, soit la suite n ( V n ) n st décroiss 0 tel que la suite (V n ) soit croissante jusqu’au rangn 0 , puis décroissante. n (Indication : on pourra calculer simplement le rapportV n+1 /V n grâce à la question 3. d. et utiliser les questions 1. b. et 1. g.) e te. h.Donner les valeurs deRpour lesquelles la suite (V n ) n st décroissan i.Que vaut le rangn 0 de la question 3. g. quandR=1 ?

II. Polynômes et nombres de Bernoulli

1.Définitions. a.SoitP(X)∈R[X]. Montrer qu’il existe un unique polynômeQ(X)∈R[X] Z 1 ′ tel queQ=PetQ(x) dx=0. 0 b.En déduire qu’il existe une unique suite de polynômes réels (B, n (X)) n vérifiant •B 0 (X)=1 ′ • ∀n > 1,B n = n−1 nB R 1 • ∀n > 1,B n (x) dx=0 0 On appelle ( B n (Xsuite des polynômes de Bernoulli.)) la Pour tout n > n B(0).léeLa suite de r suite des nombres 0,on pose b n = n éels ( b n ) n est appe de Bernoulli. c.ExpliciterB n (X) etb n pourn=0, 1, 2, 3, 4. 2. Premières propriétés

a.Quel est le degré deB n(X) pourn > 0 ? b.Montrer que, pour toutn > 2, on aB n (0)=B n (1).

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A. P. M. E. P.

c.Prouver par récurrence que, pour toutn > 0 et toutx∈R, on a à ! n X n k B n (x)=b n−k x k k=0

¡ ¢ ¡ ¢ n! n n où désigne le coefficient binômial := k k k!(n−k)! d.En déduire, pourn > 1, une expression deb n en fonction deb 0 , . . . ,b n−1 . Calculerb 5 etb 6 . que la sui e e.Montrer te ( b n ) n st une suite de rationnels et que, pourn > 0, les polynômesB n (X) sont à coefficients rationnels. f.Pour toutn > 0, on pose

n C n (X)=(−1)B n (1−X)

Montrer, en utilisant la définition des polynômes de Bernoulli, que pour toutn > 0 on aC n (X)=B n (X). g.En déduire que ½ • ∀n > 1,b 2n+1 =0 ¡ ¢ 1 • ∀n > 0,B 2n+1 =0 2

3. Étude des variations deB n sur [0 ; 1]. a.SoitP(X)∈R[X]. Établir que, siPest non nul et de signe constant sur Z 1 [0 ; 1], alors on aP(x) dx=0. 0 b.Montrer, par récurrence surn > 1, queB 2n vérifie  n •(−1)B 2n (0)<0 n   •(−1)B 2n (1)<0 ¡ ¢ n 1 •(−1)B 2n >0 2 n 1 •la fonction (−1)B 2n ] et strictementest strictement croissante sur[0 ; 2  £ ¤  1 décroissante sur ; 1 2 et queB 2n+1 vérifie ¡ ¢  n n n 1 •(−1)B 2n+1 (0)=(−1)B 2n+1 (1)=(−1)B 2n+1 =0 2  ¤ £ ¤ £  1 1 •il existe deux réelsα 2n+1 ∈0 ; etβ 2n+1 ∈tels que la fonction; 1 2 2 n (−1)B 2n+1 soit strictement décroissante sur[0 ;α 2n+1 ]puis strictement   croissante sur [α 2n+1 ;β 2n+1 ]puis strictementdécroissante sur [β 2n+1 ; 1] (Indication : il pourra être judicieux d’aborder en même temps la récur rence sur ces six propriétés.) p+1 c.En déduire que le signe du réelb 2p est (−1) . ∗ n > 0, on poseB X) d.Pour tout n (=B n (X)−b n . Pourn > 1, donner l’allure ∗ ∗ ∗ ∗ générale des courbes représentatives des fonctionsB,B,B,B 4n−2 4n−1 4n4n+1 sur l’intervalle [0 ; 1]. 4. Une application arithmétique a.Montrer, par récurrence surn > 1, que pour toutx∈Ron a

n−1 B n (x+1)−B n (x)=n x. N p b.Soientp > 1 etN > 0 deux entiers. On poseS p (N)=k; montrer en k=0 utilisant la question 4. a. que

B p+1 (N+1)−b p+1 S p (N)=. p+1

c.Calculer explicitement, en fonction de l’entier naturelN, les sommes S p (N) pourp=1, 2, 3.

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A. P. M. E. P.

5. Une application analytique X b n n a.Montrer que le rayon de convergence de la série entièretest égal n! à 2π. (Indication : On pourra par exemple, déterminer les réelst>0 pour les ³ ´ | b | n quels la suitetreste bornée. À cet effet, on pourra utiliser la for n! n mule de Stirling et admettre pour cette question que l’on a l’ équivalent ¡ ¢ p p 2p p+1 b 2p ∽ p (−1) 16πp. Ce dernier résultat sera établi dans la ques πe tion 2. e. à venir.) b.Calculer le produit au sens de Cauchy des séries entières à ! à ! n X X t b n n t n!n! n > 1n > 0

et en déduire que, pour toutt∈]−2π; 2π[, on a

X t b n n =t. t e−1n! n > 0

c.Montrer que, pour toutx∈Ret toutt∈]−2π; 2π[, on a

x t X teB n (x) n =t. t e−1n! n > 0

d.Justifier que, pour toutx∈R, le rayon de convergente de la série entière X B n (x) n test bien 2π. n! (Indication : on pourra regarder dansCle comportement de la série en tière au voisinage du cercle|z| =2π.)

III. Fonctionζde Riemann et nombres de Bernoulli

1.Fonctionζ On appelle fonctionζde Riemann (réelle) la fonction de la variable s∈Rdéfinie par la formule X 1 ζ(s)=. s n n > 1 a.Soits>0. Montrer que, pour tout entierk > 1, on a Z k+1 1 1 1 <dx< s s s (k+1) k x k

En déduire que la nature (divergence ou convergence) de l’intégrale gé Z +∞ X 1 1 néralisée dx.est la même que celle de la série s s 0 x n n > 1 b.Donner le domaine de définition deζet prouver qu’elle est strictement décroissante sur celuici. 1 c.Montrer queζ(s) ∽ et en déduire limζ(s). + 1 + s−1 s→1 X 1 d.Soita > 1 un réel. Montrer que la série est normalement conver s n n > 1 gente sur [a;+∞[. En déduire queζest continue sur son domaine de définition et que limζ(s)=1. s→+∞

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