Capesext premiere composition de mathematiques 2006 capes maths capes de mathematiques

Description

1 Presentation´ du jeu.1.1 Les regles` du jeu.Le tournoi est un jeu comportant une suite de manches (appelees´ duels) opposantdeux joueurs, jamais plus. Les joueurs vont entrer en jeu successivement, tant qu’aucun d’entreeux n’aura et´ e´ declar´ e´ vainqueur, et forment ainsi une suite (J ,J ,...) aussi longue qu’il faudra,0 1ce qui nous conduit a` considerer´ une suite infinie de joueurs notee´ (J ) .n n∈NLe premier duel oppose J et J , le vainqueur reste en jeu et se voit opposer J qui entre pour le0 1 2deuxieme` duel. Plus gen´ eralement,´ len i eme` duel (n≥2) oppose le joueurJ , qui entre alors ennjeu, au vainqueur du duel prec´ edent,´ le perdant quittant le jeu.On convient enfin que le premier joueur qui remporte N duels, necessairement´ consecutifs,´ estdeclar´ e´ vainqueur et que le jeu prend fin. N est un entier fixe´ a` l’avance, au moins eg´ al a` 2, etvalable pour tout le deroulement´ du tournoi.Lebutdeceprobleme` estderendrecomptedecetypedejeuenenproposantdiversesmodelisations´probabilistes. On s’interessera´ ainsi plus particulierement` a` la duree´ du jeu, c’est a dire` au nom bre de duels ayant eu lieu avant la proclamation du vainqueur.1.2 Les regles` communes aux differ´ entes modelisations´ aleatoir´ es.La succession des duels en parfaitement decrite´ si on connait, pour chacun, les numeros´ desparticipants et le numero´ du gagnant, cela tant que le jeu continue, c’est a dire` tant qu’aucundes joueurs n’a et´ e´ declar´ e´ vainqueur ...

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• Publié par: aiolos
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Extrait

1Pr ´ esentationdujeu. 1.1 Les re`gles du jeu. Letournoi est un jeu comportant une suite de manches (appele´es duels) opposant deux joueurs, jamais plus.Les joueurs vont entrer en jeu successivement, tant qu’aucun d’entre euxn’aurae ´ te ´ d ´ eclare ´ vainqueur,etformentainsiunesuite(J 0 ,J 1 , . . .) aussi longue qu’il faudra, infinie de joueurs n) cequinousconduit ` aconsid ´ ererunesuiteote ´ e(J n n ∈N . Le premier duel opposeJ 0 etJ 1 , le vainqueur reste en jeu et se voit opposerJ 2 qui entre pour le deuxi ` emeduel.Plusg ´ ene ´ ralement,len ie`me duel ( n≥2) oppose le joueurJ n , qui entre alors en jeu,auvainqueurduduelpr ´ ece ´ dent,leperdantquittantlejeu. On convient enfin que le premier joueur qui remporteNdus,elecn ´ saesmerictne ´ snotucesetfi,s de´clare´ vainqueur et que le jeu prend fin. Nutse’aale ` x ´ rfiientneomni ´ sgeavcn,euaal ` a2,et valable pour tout le de´roulement du tournoi. Lebutdeceproble ` meestderendrecomptedecetypedejeuenenproposantdiversesmod ´ elisations probabilistes.Ons’int ´ eresseraainsiplusparticulie ` rementa ` ladure ´ edujeu,c’esta ` direaunom bre de duels ayant eu lieu avant la proclamation du vainqueur.

1.2Lesre ` glescommunesauxdiff ´ erentesmod ´ elisationsal ´ eatoires. Lasuccessiondesduelsenparfaitementd ´ ecritesionconnait,pourchacun,lesnum ´ erosdes participantsetlenum ´ erodugagnant,celatantquelejeucontinue,c’esta ` diretantqu’aucun desjoueursn’ae ´ t ´ ed ´ eclar ´ evainqueur.Onsupposeraquechaqueduelestunjeudehasard,on conside`rera ainsi le nreoiat ´ erpueevlamoemnue ´ emeduelci ` E n , dont on observera les re´sultats possibles. Onpr ´ esupposera,sanscherchera ` l’expliciter,l’existenced’unespacedeprobabilit ´ e(Ω, A ,P) permettantdemode ´ liserlejeuetons’attachera ` ade ´ crirel’universdespossibles,c’est ` adireles issuesdesdiffe ´ rentese ´ preuves,ainsiquelamani ` eredontonaffectedesprobabilite ´ sauxre ´ sultats observ ´ es.Lesmod ` elespropos ´ esdevrontrespecterlesre ` glessuivantes: 1.Lepremierduel:laprobabilit ´ equelere ´ sultatde E 1 soit 1 (J 1 est le gagnant du premier duel) estpu ` o,p est un e´le´ment de ]0,1[lbe ` peoruoltnatsx ´ edfictnateva0ltsu ´ eat,lme ´ eer laprobabilit ´ e(1−p). 2. Lesduels successifs : (a) Pourn≥ 2, l’e´preuve E n , si elle a lieu, ne depend de celles qui l’on pre´ce´de´es que parlenum ´ erodujoueuroppos ´ e ` aJ n i.quiaremport ´ eleduelpr ´ ec ´ e(deenctu)l ultat estnt ´ eg ` o)eus( ) (b)Laprobabilit ´ epourJ n de remporter ce duel (le re´sale a` p n ,p k k ≥2 est une suite d’e´le´ments de ]0,1[e ´ etantvstoppos ´ qriuuleil,jeuouecevaenuqniarueu probabilite´ 1 −p n . On admettra par ailleurs que, pour toute suite( A n )ntoitdsetlon ´ earoinunsjditsenemenv ´´ e’d n∈N estdeprobabilit ´ e1,ilexisteunevariableal ´ eatoireX ` asnasdurlevaN ve´rifiant : ∀n∈N,P[X=n] =P( A n )

2 Pre´liminaires. Onseproposeicided ´ emontrerdiversre ´ sultatsquipourront ˆ etreutilis ´ esdanslasuiteduprobl ` eme. 1