CCENS 2004 mathematiques informatique paris et lyon classe prepa pc

Description

ULC 420 SESSION 2004 Filière MP (groupe 1) Épreuve commune aux ENS de Paris, Lyon et Cachan Filière PC (groupe 1) Épreuve commune aux ENS de Paris et Lyon MATHÉMATIQUES = INFORMATIQUE Durée : 4 heures L’usage de toute calculatrice est interdit. Tournez la page S.V.P. Préliminaires Pour tout ensemble fini E de cardinal k, on note RE l’espace vectoriel de dimension k des fonctions de E vers R. On note ê l’élément de RE qui est la fonction qui à e associe 1, et à tout autre élément de E associe O. En particulier, tout élément a de RE s’écrit de façon unique CeEEaeê, pour une famille de coefficients (ae)eEE - à savoir a, = a(e) pour tout e E E. Les vecteurs ê, e E E forment la base canonique de RE. L’espace RE est muni d’un produit scalaire défini par pour lequel la base (ê)eEE est orthonormée. On note Ivl = On note O l’espace vectoriel de dimension O. Il est réduit à l’élément O. On rappelle aussi que le rang d’une application linéaire f : RE -+ RF est dim Im f = dim RE - dim Ker f = card E - dim Ker f. Si A et B sont deux matrices de même largeur, la matrice [ - ] est obtenue en plaçant toutes les lignes de A au-dessus de toutes les lignes de B. Une relation binaire sur un ensemble A est un sous-ensemble de A x A. Pour toute relation binaire -+ sur un ensemble A, on notera z -+ y si et seulement si (z,y) est dans -+. On notera d’autre part -+* la relation définie par z +* y si et seulement s’il existe un entier k 2 O, et k + 1 éléments 20, XI, x2, ...

Informations

• Publié par: aiolos
• Nombre de lectures: 376
• Langue: Français

Extrait