CCP 2000 mathematiques 1 classe prepa mp
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MP005 SESSION 2000 CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES ÉPREUVE SPÉCIFIQUE-FILIÈRE MP MATHÉMATIQUES I DURÉE : 4 heures Les calculatrices programmables et alphanumériques sont autorisées, sous réserve des conditions définies duns la circulaire no 99-018 du 01.02.99. Le problème proposé a pour but la démonstration d’un théorème relatif aux contractions d’un espace de Banach et l’étude, grâce à ce théorème, d’une équation fonctionnelle. Si X et Y sont des ensembles, Y désigne l’ensemble des applications de X dans Y. Si X est un ensemble non vide, Nw désigne la norme de la convergence uniforme sur l’espace vectoriel des applications bornées de X dans W : (f ) = sup( {If (x)l: x E X}) . 1. Convergence uniforme dans C([O,l], R) Soit (fI7 ),,, une suite de Cauchy, pour Nw, de C([O,l], R). 1. Montrer que, pour tout x E [OJ] , (f, (x)),,, ~~ converge. Soit f la limite simple de la suite (ff7 LE ” 2. Montrer quefest bornée et que Nm (f, - f ) -+ O. Il++- 3. Justifier que (C([O,l],R), Mm) est un espace de Banach. 4. Soit (U,~) la suite de C([O,l], R) définie par : u,,(x) =e.‘” pour tout x E [0,1]. II€ N Montrer que, pour tout x E [O,l], (U,~(X)),~~-~ converge. La suite (un),,, est-elle de Cauchy pour -Ww ? 5. Soit (v,~) la suite de C([O,l],R) définie par : V,~(X) = I,’ei”dt pour tout XE [0,1]. Il€ Fd Montrer que (v,~),~~ converge uniformément sur [OJ] vers un Clément v de C([O,l],R). Tournez la page S.V.P. J. 0987 II. Théorème du point fixe de Banach A Soit ...

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