CCP 2004 mathematiques 1 classe prepa psi

Description

Œ˛øjº„߲Łjœj˛łœŁœ˛ł˛º˛ŒßØØ˛ø-Œ„Concours communs polytechniquesEpreuve spécifique filière PSI- Session 2004Mathématiques I : 4 heuresCalculatrices autorisées.Notations et but du problèmeE fest le R espace vectoriel des fonctions définies sur R , à valeurs réelles, de+01 f ( 0) = 0classe c sur R et vérifiant .+E f Eest l’ensemble des fonctions appartenant à et telles que la fonction1 02? f t ?( ) *ta soit intégrable sur R .? ? +tE f Eest l’ensemble des fonctions appartenant à et telles que la fonction2 02Rta f '( t ) soit intégrable sur .( ) +On note :1/ 22 1/ 2? f t ? 2( ) pour f E ; N f = f ' t dt pour f E ; N f = dt ( ) ( ( ) )( )1 ? ? 1 2 2*? ? RR ++ tLe but du problème est de comparer les ensembles E et E d’une part, les1 2N Nfonctions et d’autre part.1 2Les parties I et II sont consacrées à deux exemples, la partie III aborde leproblème de comparaison de façon plus générale.Partie I – Exemple IfDans cette partie on suppose que est la fonction définie sur R par+f t = Arc tan t( ) .f E1. Montrer que appartient à .11* H : tax2. Montrer que, pour tout x R , la fonction est2 2 2+ t +1 t + x( ) ( )f Eintégrable sur R et qu’en particulier appartient à .+ 2* x = H t dtN f ( ) ( )( ) x R3. Calcul de . Pour , on note x .2 ?+ R+*3.1. Montrer que la fonction est continue sur R .+*3.2. Soit x R , x 1 ; décomposer en éléments simples la fraction+1rationnelle de la variable T , .2T +1 T + x( ) ( )*x3.3. En déduire ...

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• Langue: Français

Extrait

Concours communs polytechniques

Epreuve spécifique filière PSI- Session 2004

Mathématiques I

: 4 heures

Calculatrices autorisées.

Notations et but du problème

0

E

est le R espace vectoriel des fonctions

f

définies sur R

+

, à valeurs réelles, de

classe c

1

sur R

+

et vérifiant

(

29

0

0

f

=

.

1

E

est l’ensemble des fonctions

f

appartenant à

0

E

et telles que la fonction

(

29

2

f

t

t

t

a

soit intégrable sur

*

R

+

.

2

E

est l’ensemble des fonctions

f

appartenant à

0

E

et telles que la fonction

(

29

(

29

2

'

t

f

t

a

soit intégrable sur

R

+

.

On note :

(

29

(

29

*

1/ 2

2

1

R

f

t

N

f

dt

t

+

=

∫

pour

1

f

E

∈

;

(

29

(

29

(

29

1/ 2

2

2

'

R

N

f

f

t

dt

+

=

∫

pour

2

f

E

∈

;

Le but du problème est de comparer les ensembles

1

E

et

2

E

d’une part, les

fonctions

1

N

et

2

N

d’autre part.

Les parties I et II sont consacrées à deux exemples, la partie III aborde le

problème de comparaison de façon plus générale.

Partie I – Exemple I

Dans cette partie on suppose que

f

est la fonction définie sur R

+

par

(

29

tan

f t

Arc

t

=

.

1.

Montrer que

f

appartient à

1

E

.

2.

Montrer que, pour tout

*

x

R

+

∈

, la fonction

(

29

(

29

2

2

2

1

:

1

x

H

t

t

t

x

+

+

a

est

intégrable sur R

+

et qu’en particulier

f

appartient à

2

E

.

3.

Calcul de

(

29

2

N

f

. Pour

*

x

R

+

∈

, on note

(

29

(

29

x

R

x

H

t dt

ϕ

+

=

∫

.

3.1. Montrer que la fonction

ϕ

est continue sur

*

R

+

.

3.2. Soit

*

x

R

+

∈

,

1

x

≠

; décomposer en éléments simples la fraction

rationnelle de la variable

T

,

(

29

(

29

2

1

1

T

T

x

+

+

.

3.3. En déduire l’expression explicite de

(

29

x

ϕ

pour

*

x

R

+

∈

,

1

x

≠

.

3.4. Quelle est la valeur de

(

29

2

N

f

?

4.

Etudier le signe de

tan

u

Arc

u

-

pour

u

R

+

∈

.