CCP 2004 mathematiques 2 classe prepa tsi

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CCP TSI 2004 Maths 2 page 1CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUESEPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE TSIMATHEMATIQUES 2Dur´ee : 3 heuresLes calculatrices sont autoris´eesNB. : Le candidat attachera la plus grande importance `a la clart´e, a` la pr´ecision et `a laconcision de la r´edaction.Si un candidat est amen´e `a rep´erer ce qui peut lui sembler ˆetre une erreur d’´enonc´e, il lesignalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiativesqu’il a ´et´e amen´e `a prendre.Soit α un nombre r´eel et f une fonction continue deR dansR.On note (E ) l’´equation diff´erentielle suivante :α00(E ) : y +αy =f.αOn d´esigne par :• S l’ensemble des fonctions F de la variable x deux fois d´erivables deR dansR solutionsde l’´equation diff´erentielle (E )α• S l’ensemble des fonctions F ´el´ements deS telles que F(0)=F(π)=0.0Partie AA.1.) On suppose dans cette question que la fonction f est nulle surR et que le r´eel α estnul. D´eterminer l’ensembleS .0A.2.) On suppose dans cette question que la fonction f est nulle surR.Soit ω un r´eel strictement positif, d´eterminer l’ensemble S lorsque :02A.2.a.) α=ω .2A.2.b.) α=−ω .A.3.) On suppose dans cette question que le r´eel α est nul.Soit n un entier naturel non nul, d´eterminer l’ensembleS lorsque :0A.3.a.) f(x)=cosnx.A.3.b.) f(x)=sinnx.A.4.) On suppose toujours que le r´eel α est nul et on d´esigne par f un ´el´ement quelconque0deC (R,R).A.4.a.) Montrer que :‰ Z µZ ¶ ¾x u2S = F :x7→ ...

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CCP TSI 2004 Maths 2

CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE TSI

MATHEMATIQUES 2

Duree:3heures

Lescalculatricessontautorisees

page 1

NB.:Lecandidatattacheralaplusgrandeimportancealaclarte,alaprecisionetala concisiondelaredaction. Siuncandidatestameneareperercequipeutluisemblerˆetreuneerreurd’enonce,ille signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’ilaeteameneaprendre. Soitbrereelunnomtefune fonction continue deRdansR. On note (E  itviaenlleerseundittei:onqeaul)’ 00 (E  ) :y+y=f. Ondesignepar:  Sl’ensemble des fonctionsFde la variablexdedeufxiodseiravlbseRdansRsolutions del’equationdierentielle(E  )  S 0 l’ensemble des fonctionsFmeledetsenStelles queF(0) =F() = 0. Partie A A.1.) Onsuppose dans cette question que la fonctionfest nulle surRleerelequetest nul.Determinerl’ensembleS 0 . A.2.) Onsuppose dans cette question que la fonctionfest nulle surR. Soitωurneletselesbmenl’erinrmtee,dfitisoptnemetcirS 0 lorsque : 2 A.2.a.)=ω. 2 A.2.b.)=ω. A.3.)Onsupposedanscettequestionquelereelest nul. Soitnaturelnuonentiernetmrnirennlud,eleenl’mbseS 0 lorsque : A.3.a.)f(x) = cosnx. A.3.b.)f(x) = sinnx. A.4.)Onsupposetoujoursquelereelotdneisngperaeluntsefeuqnunelementquelco 0 deC(R,R). A.4.a.) Montrerque : ½ ZµZ ¶¾ x u 2 S=F:x7→f(t)dt du+ax+b|(a, b)∈R. 0 0 A.4.b.)Endeduirequel’ensembleS 0 emeontnuqinleemeadnututeF 1 eterminer.DF 1 . 0 Danstoutelasuitedecettepartie,ondesigneparϕdeeeniondnctilafoC(R,R) danslui-mˆemequi,alafonctionf, associeF 1 ntdeu,inuqeleeemS 0 .