CCSE 2003 mathematiques 2 classe prepa psi

Description

MATHÉMATIQUES II Filière PSI MATHÉMATIQUES II Filière PSIMATHÉMATIQUES II Filière PSIDans tout le problème, n est un entier naturel supérieur ou égal à 1 . Partie I - Généralités sur P()E et PnOn considère un espace euclidien En de dimension . On note ()xy le produitI.A - scalaire de deux vecteurs xy et et xax la norme associée.I.A.1) Soient AB et les deux matrices d’un même endomorphisme de E rap-∗Pour uL∈ ()E , on note u son adjoint, χ son polynôme caractéristique et Sp()uu porté à deux bases orthonormales. Montrer que AB et sont orthogonalementl’ensemble de ses valeurs propres. On note π le générateur de l’idéal desu semblables.polynômes annulateurs de u dont le coefficient de plus haut degré est égal à 1 .I.A.2) Soit uE un endomorphisme de et A sa matrice sur B, une baseπ est appelé polynôme minimal de u .uorthonormale de Eu. Établir un rapport entre l’appartenance de à P()E∗L’endomorphisme uE de est dit antisymétrique lorsque u = –u .(resp. N()E ) et l’appartenance de à P (resp. N ).n nOn note, SE() , AE() et OE() les sous-ensembles de LE() formés respectivementDans la suite du problème, on pourra exploiter ce rapport pour répondre à cer-des endomorphismes symétriques, antisymétriques, orthogonaux.taines questions.Si FE est un sous-espace de stable par u, on note l’endomorphisme de FF I.A.3) Montrer que P()E ⊂ N()E et que P ⊂ N .n ninduit par u .I.B - ∗On note P()E l’ensemble des endomorphismes uE de tels que ...

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• Publié par: aiolos
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