CCSE 2004 concours Maths 1 PC

Albert Laurent

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CCSE 2004 concours Maths 1 PC

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• Publié par: porthos
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Extrait

MATHƒMATIQUES IFiliËre PC MATHƒMATIQUES I

n Dans tout le problËme, a=(a) dÈsigne une suite de complexes et a z n n ∈IN ∑ n la sÈrie entiËre associÈe, dont le rayon de convergence R est supposÈ non nul a et Þni. n On note C des complexes lÕensemble z module de R  telsque a z a a ∑ n est convergente. On appelle cercle unitÈ lÕensemble des complexes de module 1 : un complexe z appartient au cercle unitÈ si et seulement sÕil existe un rÈel x ‡ appartenant ix lÕintervalle I= ]Ðπ,π] tel que z=e . DÕautre part on note: 2πZZ={2kπk∈ZZ} , et [[p,q]] lÕensemble des dÈsigne entiers naturels k vÈriÞant : p≤k≤q . On Ètudie diffÈrentes sÈries entiËres pour lesquelles lÕensemble C prend diffÈ- a rentes formes. Dans le cas o˘ C est un cercle, on propose dÕobserver diffÈrents comportements a de la fonction somme de la sÈrie entiËre sur ce cercle.

Partie I - Calculs prÈliminaires Les rÈsultats de cette partie sont destinÈs ‡ prÈparer les dÈmonstrations des parties suivantes. I.A -Montrer les inÈgalitÈs : 2 ∀x∈[0,π],0≤sinx≤x et ∀x∈[0,πÚ2],sinx≥ - x . π I.B -Montrer que pour tout x  quiappartient ‡ IR\2πZZ  etpour tout couple dÕentiers naturels (  p,q) tel que p≤q : q ikx 1 e≤ . ∑ - x k=p   sin -   2 I.C -Soient (u) et (v) deux suites complexes. n * n * n∈INn∈IN

Concours Centrale-SupÈlec 2004

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