MATHÉMATIQUES II Filière PSIMATHÉMATIQUES IINotations et objectifs du problèmeDans tout ce problème, Ed est un espace vectoriel euclidien de dimension ≥ 1 .Le produit scalaire de deux vecteurs uv et de E est noté ()uv, la norme duvecteur uu est notée .L’espace des endomorphismes de E est noté LE() . Le composé de deux élémentsfg et de L()E est noté indifféremment fg ou f o g et l’identité I . L’adjoint deE∗ff est noté ; on rappelle qu’il est caractérisé par la propriété suivante :2 ∗∀()uv, ∈ E, .()fu v =()ufvSi fL est un élément de E, Trf désigne la trace de fp. Le composé de exem-p 0plaires de ff est noté (avec, par convention, f = I ). Si F est un sous espaceEde Ef stable par , l’endomorphisme induit par f sur F est noté f .FOn notera SE() l’ensemble des endomorphismes symétriques (ou autoadjoints)+de ES et ()E le sous ensemble de SE() constitué des endomorphismes symé-triques dont les valeurs propres sont positives.On rappelle que, si txa ()t est une application de IR dans E et()e =()e,,e …,e une base de Ex, par rapport à laquelle les coordonnées de ()t1 2 dsont ,xt xt,,…x ()t :1 2 dd∀t ∈ IR,xt()= x()t e∑ i ii = 1kalors xC est de classe sur IR , si et seulement si, pour tout entier i ∈{}12,, …,dkl’application txa ()t est une application de classe C de IR dans IR .iSoit fL un élément de ()E et x un élément de E . On considère l’équation 0⎧ dx ------- = fx()⎪ dt P()f , x ⎨0⎪ x()0 = x0⎩1dont l’inconnue xt est la fonction ax()t ...
MATHÉMATIQUES II Filière PSI
MATHÉMATIQUES II
Notations et objectifs du problème
Dans tout ce problème, Ed est un espace vectoriel euclidien de dimension ≥ 1 .
Le produit scalaire de deux vecteurs uv et de E est noté ()uv, la norme du
vecteur uu est notée .
L’espace des endomorphismes de E est noté LE() . Le composé de deux éléments
fg et de L()E est noté indifféremment fg ou f o g et l’identité I . L’adjoint deE
∗ff est noté ; on rappelle qu’il est caractérisé par la propriété suivante :
2 ∗∀()uv, ∈ E, .()fu v =()ufv
Si fL est un élément de E, Trf désigne la trace de fp. Le composé de exem-
p 0
plaires de ff est noté (avec, par convention, f = I ). Si F est un sous espaceE
de Ef stable par , l’endomorphisme induit par f sur F est noté f .F
On notera SE() l’ensemble des endomorphismes symétriques (ou autoadjoints)
+
de ES et ()E le sous ensemble de SE() constitué des endomorphismes symé-
triques dont les valeurs propres sont positives.
On rappelle que, si txa ()t est une application de IR dans E et
()e =()e,,e …,e une base de Ex, par rapport à laquelle les coordonnées de ()t1 2 d
sont ,xt xt,,…x ()t :1 2 d
d
∀t ∈ IR,xt()= x()t e∑ i i
i = 1
k
alors xC est de classe sur IR , si et seulement si, pour tout entier i ∈{}12,, …,d
k
l’application txa ()t est une application de classe C de IR dans IR .i
Soit fL un élément de ()E et x un élément de E . On considère l’équation 0
⎧ dx
------- = fx()⎪ dt P()f , x ⎨0
⎪ x()0 = x0⎩
1dont l’inconnue xt est la fonction ax()t de classe C de IR dans E .
On rappelle que, pour tout x de E , il existe une unique solution de P()f , x .0 0
On l’appelle fx-trajectoire de .0
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Afin d’alléger la rédaction, on conviendra que toute propriété géométrique d’une
trajectoire xx concerne en réalité l’ensemble ()IR ={}xt()t ∈ IR ; par exemple, on
dira que la trajectoire est un cercle si ()IR est un cercle.
On désigne par BE() l’ensemble des f , éléments de LE() , tels que toutes les
f – trajectoires sont bornées, c’est-à-dire sont telles que, quel que soit le choix de
x , il existe un réel M ≥ 0 , dépendant de x , pour lequel on a :0 0
∀t ∈ IR, , xt() ≤ M
si xf désigne la – trajectoire de x .0
De même, on note SP()E l’ensemble des f , éléments de LE() , tels que toutes
les f – trajectoires sont sphériques, c’est-à-dire sont telles que, quel que soit le
choix de x , il existe un élément γ ∈ E et un réel r ≥ 0 , dépendants de x , pour0 0
lesquels on a :
∀t ∈ IR, ,xt()– γ = r
si xf désigne la – trajectoire de x .0
L’objectif du problème est de caractériser les ensembles BE() et SP()E .
Partie I - Étude de trajectoires
I.A - Soit FE un sous-espace de , stable par f. Montrer que si x∈ F , la f – tra-0
jectoire de x est contenue dans F .0
I.B - Soit f un élément de LE() , x un vecteur propre de f associé à la valeur0
propre λ et xf la – trajectoire de x . Exprimer xt() en fonction de x , λ , t .0 0
2I.C - Soit f LE() , x un élément de Ker f n’appartenant pas0
à Ker fx et la f–x . Exprimer xt()x , fx() , t et0 0 0
préciser la nature géométrique de cette trajectoire.
I.D - Soit f un élément de LE() , x un élément de E –{}0 . On suppose qu’il0
existe un réel φ n’appartenant pas à πZ Z et un réel k strictement positif tels que
2 2 .()f – 2kcos φfk+ I ()x = 0E 0
On note txat la f – trajectoire de x .0
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I.D.1) Montrer que la famille ()x ,fx est libre et justifier l’existence de0 0
deux applications uv et de IR dans E , telles que
.∀t ∈ IR,xt()= ut() x +vtfx0 0
2
I.D.2) Montrer que uv et sont de classe C . Former une équation différen-
tielle linéaire du second ordre, avec deux conditions initiales, vérifiée par u . En
déduire l’expression de u .
I.D.3) Montrer que x est bornée si et seulement si cos φ = 0 . Dans ce cas,
décrire géométriquement la f – trajectoire x . À quelles conditions cette trajec-
toire est-elle un cercle ?
2 2
I.E - Soit kf un réel strictement positif, un élément de L()E, gf= + k I etE
2
x un élément de Ker g . On désigne par G la famille0
.Gx={},fx() ,gx() , gf()x0 0 0 0
I.E.1) Montrer que F = vect()G est stable par f .
I.E.2)G est libre si et seulement si gx() ≠ 0 .0
I.E.3) On suppose que gx() ≠ 0. Montrer que la f –trajectoire de x peut0 0
s’écrire sous la forme :xt()= ut() x +vt()fx() +wt()gx() +ht() gf()x0 0 0 0
Déterminer ut(), vt(), puis wt(), puis ht(). Montrer que cette trajectoire n’est
pas bornée.
Partie II - Étude des endomorphismes à trajectoires bornées
Dans les questions II.A à II.D incluses, fE désigne un endomorphisme de tel
que toutes les f – trajectoires sont bornées : fB∈ ()E .
II.A - Soit λ une valeur propre réelle de f . Montrer que λ = 0 .
2II.B - Montrer que Ker f = Ker f et E = Im f ⊕ Ker f .
II.C - Exhiber, sans démonstration, un polynôme non nul, à coefficients réels,
qui annule f . Démontrer qu’il existe un polynôme unitaire à coefficient réel qui
est de degré minimal parmi les polynômes non nuls de IR[]X annulant f .
Dans toute la suite de la section II.C, ce polynôme est noté P .
II.C.1) Soit QQ ()∈ IR[]X un diviseur non constant de PQ. Montrer que ()f
ne peut être inversible.
II.C.2) On suppose que P admet une racine réelle λ . Montrer que λ = 0 et, en
s’aidant de la question II.B, que l’ordre de multiplicité de cette racine dans P
est égal à 1 .
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II.C.3) Que dire de fP si est scindé sur IR ?
II.C.4) On suppose que P possède une racine complexe λ non réelle. On écrit
i φ
λ sous forme trigonométrique : λ = ke , avec k et φ réels, k > 0 et φ n’appar-
tenant pas à πZ Z. Démontrer qu’il existe un vecteur x ≠ 0 tel que :0
2 2
()f – 2kcos φfk+ I ()x = 0 . En déduire la valeur de cos φ . Qu’en conclure surE 0
les racines non réelles de P ?
22 2 2 2II.C.5) Soit k > 0 , montrer que Ker()f + k I = Ker()f + k I .E E
II.C.6) On suppose f ≠ 0 ; démontrer qu’ il existe un entier s ≥ 1 et des réels
a,,,a … a strictement positifs et distincts tels que P soit de l’une ou l’autre des1 2 s
deux formes suivantes :
s s
2 2 2 2
PX= ()+ a ou XX()+ a .∏ ∏i i
i = 1 i = 1
II.D - Prouver que f vérifie les deux propriétés suivantes :
2i) L’endomorphisme f est diagonalisable et ses valeurs propres sont des réels
négatifs ou nuls.
2ii) .rg f = rg f
2Prouver que les dimensions des sous-espaces propres de f associés à ses
valeurs propres strictement négatives sont paires.
II.E - Réciproquement soit f un élément de LE() , non nul et vérifiant les deux
propriétés i) et ii) de la question II.D). Établir l’existence d’un entier s stricte-
ment positif, de sE sous-espaces ,,E …,E tous non réduits à {}0 , de dimen-1 2 s
sions paires et stables par fs et de réels a,,, … a , strictement positifs et1 2 s
distincts, tels que :
s
Ker f ⊕ = E (1) E
i
i = 1
2 2
∀i ∈{}1,,… s, (2)∀xE∈ , f ()x = –a xi i
Étudier la f – trajectoire d’un vecteur appartenant à l’un des E et en conclurei
que .fB∈ ()E
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Partie III - Étude des endomorphismes à trajectoires
sphériques
III.A -
III.A.1) Soit fL un élément de ()E. Prouver l’équivalence des deux propriétés
suivantes :
∗a) f+0f =
b) ∀uE∈, .()ufu = 0
Un endomorphisme vérifiant l’une de ces deux propriétés est appelé endomor-
phisme antisymétrique de EA. L’ensemble de ces endomorphismes est noté ()E.
III.A.2) Soit fA un élément de ()E et xf une – trajectoire associée ; calculer
2la dérivée de la fonction txa ()t . Montrer que AE() ⊂ SP()E .
III.B - Soit fSP() et FE un sous-espace de stable par F.
Montrer que f est élément de SP()F .F
III.C - Montrer que SP()E ⊂BE() .
III.D - Dans cette section III.D, E est de dimension 2 et f est un élément non
nul de SP()E .
2III.D.1) Démontrer que f est une homothétie de rapport strictement négatif.
III.D.2) Soit x un élément de E –{}0 et a le centre d’un cercle contenant la0
f – trajectoire de x . Justifier que a peut s’écrire sous la forme αx + βfx() et0 0 0
prouver que ()x fx= 0 .0 0
III.D.3) Prouver que AE() = SP()E .
III.E - Dans cette section III.E, E est un espace vectoriel orienté de
dimension . 3
Soit ω un élément de E –{}0 et vE un vecteur de orthogonal à ω . On définit
l’endomorphisme ψ de E par ψ : u a ω ∧uu+()ω v .
III.E.1) Montrer que ψ est antisymétrique si et seulement si v = 0 .
III.E.2) Montrer que si v est non nul, ψ appartient à SP()E .
On pourra commencer par prouver que pour tout x de Ex, si désigne la0
f – trajectoire de x , ()x ω est constant et l’on cherchera le centre de la0
sphère sous la forme αω+ ω ∧ v , où α est une constante à déterminer.
On se propose de prouver que tout endomorphisme fS élément de P()E, non nul
est de la même forme que ψ .
2III.E.3) Soit fS un élément de P()E–{}0 . Établir que f n’admet qu’une seule
2 2 2valeur propre strictement négative, notée –Iµ et que m f = Ker()f + µ I .E
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III.E.4) En déduire l’existence d’une base orthonormée de E où la matrice de
f est de la forme
⎛⎞0 –µ b⎜⎟µ 00
000⎝⎠
et conclure.
III.F - On suppose, dans cette question, que fS, élément de P()E, vérifie
2 2
f = –µ I où µ > 0 . À l’aide des résultats des questions III.B et III.D, montrerE
que f est antisymétrique.
III.G - Démontrer que, dans le cas général, SP()E est constitué des endomor-
phismes fL∈ ()E qui vérifient les deux propriétés suivantes :
i) E = Ker f ⊕ Im f .
ii) L’endomorphisme induit par f sur Im f est antisymétrique.
Ces deux conditions étant supposées réalisées, préciser géométriquement en
fonction de x élément de E , le centre d’une sphère qui contient la f – trajectoire0
de . x0
••• FIN •••
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