Composition de mathématiques 2008 Economie Ecole Nat. de la Statistique et de l'Analyse de l'Information

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Examen du Supérieur Ecole Nat. de la Statistique et de l'Analyse de l'Information. Sujet de Composition de mathématiques 2008. Retrouvez le corrigé Composition de mathématiques 2008 sur Bankexam.fr.

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• 2008

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 22 septembre 2009
• Nombre de lectures: 34
• Langue: Français

Extrait

INSTITUT NATIONAL DE LA STATISTIQUE ET DES ETUDES ECONOMIQUES ECOLE NATIONALE DE LA STATISTIQUE ET DE L’ANALYSE DE L’INFORMATION ______________

Concours d’élève ingénieur de l’ENSAI

Concours d’attaché statisticien ____________

MAI 2008 _________

SPECIALITE ECONOMIE _____________

 compositionde mathématiques

Durée : 4 heures

_____________

L’usage des calculatrices est interdit.

Le sujet comprend 4 pages (y compris celleci)

Le sujet se compose de 3 parties indépendantes

1

Premie`repartie:

Dans toute cette partie,Ie:ictrmaalere`disnocnO.3it´tdedemineisnognelamatriceidendise´   1 2−2   M= 15−4 1 2−1 1) Montrer que les valeurs propres de la matriceMEstceque la matricesont 1 et 3.Mest diagonalisable dansM 3 (R) ? 2)D´eterminertroisconstantesr´eellesa, b, ctelles que pour toutx∈R\ {1,3}, 1ax+b c = +. 2 2 (x−1) (x−3) (x−1) (x−3) 2 On poseP 1 = (aM+bI)(M−3I) etP 2 =c(M−I) . 2 2 PetP . 3) Calculer les matricesP 1 , P 2 , 1 , 2

4) On noteD=P 1 + 3P 2 etN=M−D. 2 4a) CalculerD, N, N , DNetN D. k k0 4b) Montrer que pour toutk∈N, D=P 1 + 3P 2 par convention,. (AvecD=I). k k 4c) Montrer que pour toutk∈N, M=D+kN. k 4d)Ende´duireMpour tout entier naturelk.

Deuxi`emepartie:

Danstoutecettepartie,onconside`reunentiern≥1 et on noteDl’ensemble des nombres complexes demoduleinfe´rieuroue´gala`1etz 1 , z 2 , . . . , z n+1 les racines (n)i`+1e´.nutied’lmese n+1 X kj i2π n+1 1) Montrer que pour toutk= 1, . . . , n, e= 0 j=1 n+1 X k 2) Montrer que pour toutk= 1, . . . , n,z= 0. j j=1 3) Soientu 1 , . . . , u n+1 , n+elst1r´eue:elsq

n+1 X ∀j= 1, . . . , n+ 1, u j ≤1 etu j =n+ 1. j=1

Montrer que pour toutj= 1, . . . , n+ 1, u j = 1.

4) Soientv 1 , . . . , v n+1 , n+ 1nombres complexes tels que :

n+1 X ∀j= 1, . . . , n+ 1,|v j | ≤1 etv j =n+ 1. j=1 Montrer que pour toutj= 1, . . . , n+ 1, v j = 1. 2

5)Onconside`remaintenantunpolynˆomePefficientscomplexededs´rgeea`ocnet tel que

n−1 X n k ∀z∈C, P(z) =z+a k zet∀z∈D, P(z)∈D. k=0 n+1 X 5a) Montrer quez j P(z j ) =n+ 1. j=1 5b)End´eduirequepourtoutj= 1, . . . , n+ 1, z j P(z j ) = 1. n 5c) Montrer que pour toutz∈C, P(z) =z.

Troisie`mepartie:

Dans toute cette partie,aemetoptnitis´xfifPoe.tourutrtcieeslnu´retsx∈R, on pose 2 a(1 +a) f a (x) = 2 1 +x 1) Donner le tableau des variations def a erscerattbrrecauosenepe´rve.tati 2)2a)R´esoudredansRl’´e,oinuqtaf a (x) =x. 2b)R´esoudredansRnoitauqe´’l,f a (x) =a. 3) Dans cette question, on prenda= 1. 3a) Calculerf 1 ◦f 1 (x). 3b)Montrerquel’´equationf 1 ◦f 1 (x) =xafelndio´equmeorua`tuavitauqe´enP 1 (x=)o0u`P 1 est un polynˆomededegr´e5quel’oncalculera. 3c)Ve´rifierque1estracinemultipledel’e´quationP 1 (xtsoneles0.Qu)=lpciluitdemerord´eit? 3d)R´esoudredansRe´’ltauqion,f 1 ◦f 1 (x) =x. Danstoutelasuite,onconsid`ereunesuiter´ecurrente(u n ) n≥0 de´aprnfieiu 0 ≥onn´0deetu n+1 =f a (u n ) pour toutn∈Nposera enfin pour tout. Onn∈N, v n =u 2n etw n =u 2n+1 . 4) 4a)Montrer que les deux suites (v n ) et (w n ) sont monotones et que l’une de ces deux suites est croissante etl’autreestde´croissante. 4b)Montrerquetouslestermesdel’unedecesdeuxsuitessontsupe´rieursoue´gauxa`aet que tous lestermesdel’autresuitesontinfe´rieursoue´gauxa`a. 4c) Montrer que les deux suites (v n ) et (w n ) sont convergentes. 5) Dans cette question, on prenda= 1. 5a) Montrer que les deux suites (v n ) et (w n rgenonvesunetverc)aresnO(.rpnoice´eqitl’ueemmˆimel pourra utiliser les questions 3 et 4). 5b)Quepeutonende´duirepourlasuite(u n ) ? 6) Dans cette question, on suppose quea >1. ′ 6a) Calculerf(a). a 6b)Ende´duirequ’ilexisteδ >0 tel que : ′ ∀x∈[a−δ, a+δ],|f(x)| ≥1. a 3

6c) On suppose, dans cette partie de la question, que la suite (u n Montrer qu’il existe) converge. n 0 ∈Ntel que ∀n≥n 0 , u n ∈[a−δ, a+δ] et|u n −a| ≥ |u n 0 −a|. 6d)End´eduirequelasuite(u n ) converge versasi et seulement siu 0 =a. 7) On suppose maintenant que 0< a <1. 7a) Calculerf a ◦f a (x). 7b)Montrerquel’e´quationf a ◦f a (x) =xlefaoidnuqtaene´t`auivau´equmeorP a (x`u0o)=P a est un polynoˆmededegre´5quel’oncalculera. 7c)Montrerqu’ilexisteunpolynˆomeQ a qlet4e´reudedegP a (x) = (x−a)Q a (x). 7d) Etudier les variations deQ a (x) pourx≥aquer’´eltmetronauqenoitf a ◦f a (x) =xdeuneposs`e seuleraciner´eellesup´erieureou´egalea`a. 7e)Montrer,enutilisantlesr´esultatsdelaquestion4,quelasuite(u n ) converge versa.

4