Concours Fesic mai

Description

Niveau: Supérieur

• redaction

[ Concours Fesic mai 2011 \ Calculatrice interdite ; traiter 12 exercices sur les 16 en 2 h 30 ; répondre par Vrai ou Faux sans justification. +1 si bonne réponse, ?1 si mauvaise réponse, 0 si pas de ré- ponse, bonus d'un point pour un exercice entièrement juste. EXERCICE 1 Soit f la fonction définie sur R par f (x)= ex sinx. a. lim x??∞ f (x)= 0. b. lim x?+∞ f (x)=+∞. c. lim x?0 x>0 f (x) x =+∞. d. lim x??∞ x f (x)=?∞. EXERCICE 2 Soit f la fonction définie sur D =]?1 ; 1[ par f (x)= x+ ln (1? x 1+ x ) . On appelle C la courbe représentant f dans un repère du plan. a. C est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. b. Quelque soit a ?D, ∫a ?a f (x)dx = 0. c. f est dérivable sur D et, quel que soit x ?D, f ?(x)= 1+ 2 x2?1 . d. Un énoncé peut demander, sans erreur de rigueur mathématique, d'« étudier le sens de variation de f (x) ».

• erreur de rigueur mathématique


• repère du plan


• affixe za


• boule


• tangente de coefficient di- recteur


• coefficient directeur de la tangente

Sujets

• Redaction

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 mai 2011
• Nombre de lectures: 66
• Langue: Français

Extrait

[Concours Fesic mai 2011\

Calculatrice interdite; traiter12exercices sur les16en2h30; répondre par Vrai ou Faux sans justification.+1si bonne réponse,−1si mauvaise réponse,0si pas de ré ponse, bonus d’un point pour un exercice entièrement juste.

E X E R C IC E 1 x Soitfla fonction définie surRparf(x)=e sinx. a.limf(x)=0. x→−∞ b.limf(x)= +∞. x→+∞ f(x) c.lim= +∞. x x→0 x>0 d.limx f(x)= −∞. x→−∞

E X E R C IC E 2 µ ¶ 1−x Soitfla fonction définie surD=]−1 ; 1[ parf(x)=x+ln . 1+x On appelleCla courbe représentantfdans un repère du plan. a.Cest symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. Z a b.Quelque soita∈D,f(x) dx=0. −a 2 ′ c.fest dérivable surDet, quel que soitx∈D,f(x)=1+. 2 x−1 d.Un énoncé peut demander, sans erreur de rigueur mathématique, d’« étudier le sens de variation def(x) ».

E X E R C IC E 3 +∗x Soientf 1 la fonction définie surRparf 1 (x)=ln (e−1) etf 2 la fonction définie x surRparf 2 (x)=ln (e+1). On appelleC 1 etC 2 les courbes représentant respectivementf 1 etf 2 dans un même repère du plan et on appelleΔla droite d’équationy=x. a.Au voisinage de+∞,C 1 possède l’asymptote d’équationy=x−1. +∗ b.Quel que soitx∈R, on af 2 ◦f 1 (x)=x. ¡ ¢ +∗ c.Soienta∈Retα∈R. On suppose qu’au pointA a;f 1 (a) ,C 1 possède une tangente de coefficient directeurα. Il existe un point deC 2 en lequelC 2 possède une tangente de coefficient di 1 recteur . α d.Pour montrer queΔest asymptote àC 2 au voisinage de+∞, un élève peut ¡ ¢ écrire, sans erreur de rigueur mathématique, « je vais montrer que limf 2 (x)−Δ= 0 ».

E X E R C IC E 4 Soitf 1 la fonction définie sur [0 ;+∞[ parf 1 (x)=xln(1+x). Soitf 2 la fonction définie sur [0 ;+∞[ parf 2 (x)=xln(x) six6=0 etf 2 (0)=0. On appelleC 1 etC 2 les courbes représentant respectivementf 1 etf 2 dans un même repère orthogonal du plan d’unités 3 cm en abscisses et 2 cm en ordonnées. a.f 2 est continue en 0.

Concours Fesic mai 2011

A. P. M. E. P.

¡ ¢ b.limf 1 (x)−f 2 (x)=0. x→+∞ c.On considère la surface délimitée par les courbesC 1 etC 2 d’une part et les droites d’équations respectivesx=1 etx=e d’autre part. Z µ ¶ e 1 2 L’aire de cette surface en cmestxln 1+dx. 1 x d.C 1 etC 2 possèdent deux tangentes parallèles entre elles au point d’abscisse 0.

E X E R C IC E 5 ′x On considère l’équation différentielle [E] :y−2y=(2x−On appelle1)e .fla so lution de [E] qui s’annule en 0. a.La courbe représentantfdans un repère du plan possède une tangente au point d’abscisse 0 d’équationy=x. Z Z x x t b.Quel que soitx∈R,f(x)=2f(t) dt+(2t−1)e dt. 0 0 ′ c.Sif(x) possède une limite finie quandxtend vers−∞, alorsf(x) possède une limite finie quandxtend vers−∞. 2x x d.La fonctionf, définie parf(x)=e+(2x−1)e ,est la fonction définie dans l’énoncé.

E X E R C IC E 6

−1 a.On considère la fonctionfdéfinie surRparf(x)=e six6=0 etf(0)=0. x On cherche à savoir sifest continue en 0. On tient pour cela le raisonnement 1−1 suivant : « On a lim= +∞, donc lim= −∞. On en déduit limf(x)=0. x x x→0x→0x→0 Comme on a poséf(0)=0, on en déduit quefest continue en 0. » Ce raisonnement est exact. + b.On considère la fonctionfdéfinie surRparf(x)=xlnxsix>0 etf(0)=0. On cherche à savoir sifest dérivable en 0 à droite. On tient pour cela le rai sonnement suivant : ′ «fest définie et dérivable sur ]0 ;+∞[. Pour toutx>0, on af(x)=1+lnx. ′ Or la limite def(x) quandxtend vers 0 (x>0) n’est pas un nombre réel. Cela suffit pour en déduire quefn’est pas dérivable en 0 à droite. » Ce raisonnement est exact. µ ¶ n 1 c.1On cherche à calculer la limite éventuelle de+quandntend vers+∞. n On tient pour cela le raisonnement suivant : « Soitfla fonction définie sur ]−1 ;+∞[ parf(x)=ln(1+x). On sait quefest 1 ′ dérivable sur ]−1 ;+∞[ et que, pourx> −1,f(x)=. Or, en utilisant le 1+x 1 changement de variablex=, on obtient : n µ ¶ 1 ln(1+x) ′ limnln 1+ =lim=f(0)=1. n x n→+∞ x→0 µ ¶ n ¡ ¢ 1 1 ∗ nln 1+ n De plus, pour toutn∈N, 1+ =e .Compte tenu de ce qui pré n µ ¶ n 1 t cède, on déduit quelim 1+ =lim e=e. n→+∞ t→1 n Conclusion : la limite cherchée existe et vaut e. » Ce raisonnement est exact.

Terminale S

2

Concours Fesic mai 2011

A. P. M. E. P.

³ ´ −→−→ d.O,Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormalu,v, on consi dère les points A d’affixez A =1−i, B d’affixez B =3+3i et C tel que ABC soit équilatéral direct. Pour calculer l’affixez C de C, on rédige de la façon suivante : −→−→ π π i 3 « C est l’image de B par la rotation de centre A et d’angle, donc AC=e AB. 3 On en déduit : à ! 1 3 ¡ ¢¡ ¢ z C −z A = +i (z B −z A ), soit, après calculs,z C =2−2 3+i 1+3 .» 2 2 La rédaction utilisée est rigoureuse.

E X E R C IC E 7 ′ ′′ On a représenté, cidessous, la droiteΔd’équationy=xet les courbesC,CetC ′ ′′′ représentant respectivement une fonctionf, sa dérivéefet la dérivéefdef.

−3

−2

−1

2

1

O

−1

−2

1

2

Δ

C

′ C

′′ C 3

−3 1 a.La tangente àCau point d’abscisse 1 a pour équationy=x+1. 2 b.Quel que soit le pointMdeC, le coefficient directeur de la tangente àCenM 3 est inférieur à. 2 Z 0 ′ c.f(x) dx=1. −1 ′ ′′ d.L’aire, en unités d’aire, de la surface limitée par les courbesCetCd’une ′ part, et les droites d’équationx= −1,x=0 d’autre part, vautf(−1)+f(0), soit 2,5.

E X E R C IC E 8 +3 Pour toutn∈N, on considère les fonctionsf n définies surRparf n (x)=x+2n x−1 et on appelleC n la courbe associée àf n dans un repère du plan.

Terminale S

3

Concours Fesic mai 2011

A. P. M. E. P.

On admet que, quel que soitn∈N, l’équationf n (x)=0 possède une et une seule solution dans [0 ; 1] ; cette solution (dont la valeur dépend den) sera notéeα n . À titre d’exemple, on a schématisé cidessous deux courbesC n etC m .

−1

3

2

1

−1

1

−2 a.Quel que soitn∈N,C n est audessus deC n+1 . b.La suite (α n décroissante.) est n est convergente. c.La suite (α n ) n d.On alim 2nα n =0. n→+∞

E X E R C IC E 9 ∗ On considère les suitesuetvdéfinies respectivement surNpar : Z Z 1 1 n 1x u n =dxetv n =dx. n n 0 1+x 0 1+x a.La suiteuest croissante. b.La suiteu+vest constante. 1 1 ∗ c.Quel que soitn∈N, on a 6 v n 6 . 2(n+1)n+1 d.La suiteuconverge vers 1.

E X E R C IC E 10 a.On suppose queuest une suite réelle croissante. On peut écrire, sans erreur de rigueur mathématique, que « quel que soit n∈N,u n est croissant ». b.On suppose queuest une suite réelle strictement croissante. On peut écrire, sans erreur de rigueur mathématique, que n 1 ) n ». « quel que soitn∈N, (u n ) < ( u n+ c.On suppose queuetvsont deux suites réelles qui possèdent la même limite. Alors on a nécessairement :lim (v n −u n ) =0. n→+∞

Terminale S

4

Concours Fesic mai 2011

A. P. M. E. P.

d.On suppose queuest une suite réelle. uest bornée si et seulement si la suite de ses valeurs absolues est majorée.

E X E R C IC E 11 4 2 Soitfl’application définie surCparf(z)=z−iz+2. 1−i a.L’équationf(z)=0 possède les solutions 1+i et. 2 b.Le produit des solutions de l’équationf(z)=0 est égal à 2. ¡ ¢ c.Quel que soitz∈C,f z=f(z). +∗4 2 d.Siρ∈Ret si|z| =ρ, alors|f(z)| =ρ−ρ+2.

E X E R C IC E 12 ³ ´ −→−→ Le plan complexe est rapporté au repère orthonormalO,u,v. Soienta=2−i etb= −1+i. 1 ′ On considère les pointsU,A,AetBd’affixes respectives,a,aetb. 2 On appelleCle point d’affixectel queBsoit l’image deApar la rotation de centre π C.et d’angle 2 a.L ’homothétie de centreUet de rapport−1 transformeAenB. b.On ac= −1−i. ′ c.Le quadrilatèreBCA Aest un rectangle. ′ d.Les pointsA,A,BetCsont cocycliques.

E X E R C IC E 13 ³ ´ −→−→ Le plan complexe est rapporté au repère orthonormalO,u,v. On appelle A le point d’affixe−i. ′ ′ À tout pointMd’affixez, distinct de A et de O, on associe le pointMd’affixez= z . z+i OM ′ a.On a OM=. AM ³ ´³ ´ −→ −−−→ −−→−−→ ′ b.u, OM=OM, AM[2π]. ′ c.SiMest un point du cercle de centre O et de rayon 1, alorsMest sur une droite parallèle à l’axe des ordonnées. ′ d.SiMest sur l’axe des ordonnées, alorsMest sur le cercle de diamètre [OA].

E X E R C IC E 14 Soitn∈N,n > 3. Une urne contient : •nboules blanches, dont 2 sont numérotées 1, les autres étant numérotées 2 ; •n+1 boules rouges, dont 3 sont numérotées 1, les autres étant numérotées 2 ; •n+2 boules noires, dont 4 sont numérotées 1, les autres étant numérotées 2. Toutes les boules sont indiscernables entre elles au toucher. On prélève successivement, avec remise intermédiaire, 3 boules de l’urne. On appelle A l’évènement : « les trois boules tirées sont de la même couleur ». 3 3 3 n+(n+1)+(n+2) a..La probabilité d’obtenir A est 3 27(n+1) b.L’évènement contraire de A est : « les trois boules tirées sont de couleur deux à deux distincte ».

Terminale S

5

Concours Fesic mai 2011

A. P. M. E. P.

c.La probabilité que les trois boules tirées soient rouges est constante. d.La probabilité que les trois boules tirées soient de couleur différente et portent 2 34 chacune le numéro 1 est+ +. n n+1n+2

E X E R C IC E 15

a.La durée de vie d’un appareil électronique est une variable aléatoire qui suit une loi sans vieillissement de paramètre 0,03. Soienttethdeux réels positifs. Sachant que l’appareil fonctionne à l’instantt, la probabilité qu’il fonctionne 0,03h encore à l’instantt+hest 1−e . b.Une variable aléatoireXsuit une loi exponentielle de paramètreλ. On sait que la probabilité d’avoirX 6 5 est 0,2. ln 0, 8 On aλ=. ln 5 1 c.Une variable aléatoireXqui suit une loi sans vieillissement de paramètre. 2 La probabilité d’avoirXsupérieur ou égal à ln 4 est égale à la probabilité d’avoir Xinférieur à ln4. d.Soient deux réelsaetb,a<b. Une variable aléatoireXsuit une loi de réparti tion uniforme sur [a;b]. On sait que la probabilité d’avoirX2.compris entre 0 et 5 est 0, On a nécessairementa=0 etb=25.

E X E R C IC E 16 ³ ´ −→−→ −→ L’espace est muni du repère orthonormalO,ı,,k. On considère le planPd’équationx−2y+2z−1=0, les points A(1 ; 1 ; 1), B(−5 ;1 ;−3) et C(3 ; 0 ; 5).  y=1+t  a.Une équation du segment [AB] est y=1−2t , avect∈[0 ; 1].  .z=1+2t −→ b.La distance de B àPest égale à la norme du vecteur AB . c.La sphère de centre A passant par B coupe le planPen un cercle de centre A et de même rayon. d.est un point deL’isobarycentre de {A,B, C}P.

Terminale S

6