Corrige BAC TECHNOLOGIQUE Mathematiques 2009 STIELECTECH

Description

nExercice 1 1) a) Module et argument de 1 + i √3 affixe z du point A. APar exemple : De façon évidente, on a : 13π πTh.1 : ==cos et sin . th.113 ππ 23231 + i √3 = 2i+= 2cos+isn 22 33 Th.2 : avec r > 0 et θ réel On en déduit (th.2) le module | z | et un argument arg z de z : A A A z = r(cos θ + i sin θ) ⇔ |z| = r et arg z = θ. | z | = 2 et arg z = π/3. A Ai θ b) Forme (exponentielle) re avec r > 0 et θ réel compris entre - π et π de z . APar exemple : ππSachant que z2=+cosisn, on en déduit (th.3) l’écriture A Th.3 : avec r > 0 et θ réel 33(forme trigonométrique) z = r(cos θ + i sin θ) ⇔ πi π i θ3 (forme exponentielle) z = re . exponentielle de z : z = 2 e , et ici on a bien est compris entre - π et π. A A3 c) Dessin de A : voir plus loin. Remarque : l’intention du concepteur est certainement de faire réaliser une construction « exacte », c’est-à-dire « règle-compas ». i θ2) a) Ecriture sous la forme (exponentielle) re (avec r > 0 et θ réel compris entre - π et π) de l’affixe z du point B, image de A Bπpar la rotation de centre O et d’angle . 3Par exemple : π π 2 π Th.4 : le point P’ d’affixe z’ est l’image du point P d’affixe z i i i3 3 3 iaOn a : z = e z (th.4) et z = 2 e donc (th.5) z = 2 e et B A A B par la rotation de centre O et d’angle a ⇔ z’ = e z 2 π ici on a bien est compris entre - π et π. ia ib i(a+b)Th.5 : pour tous a et b réels e e = e 3b) Ecriture algébrique de l’affixe z du ...

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Extrait

Exercice 1

1)

a) Module et argument de 1 + i

√

3 affixe z

A

du point A.

Par exemple :

De façon évidente, on a :

1 + i

√

3 =

th.1

1

3

2

i

2

c

o

s

i

s

i

n

2

2

3

3





π

π





+

=

+





















On en déduit (th.2) le module | z

A

| et un argument arg z

A

de z

A

:

| z

A

| = 2 et arg z

A

=

π

/3.

Th.1 :

1

3

cos

et

sin

2

3

2

3

π

π

=

=

.

Th.2 : avec r > 0 et

θ

réel

z = r(cos

θ

+ i sin

θ

)

⇔

|z| = r et arg z =

θ

.

b) Forme (exponentielle) re

i

θ

avec r > 0 et

θ

réel compris entre -

π

et

π

de z

A

.

Par exemple :

Sachant que

A

z

2

c

o

s

i

s

i

n

3

3

π

π





=

+









, on en déduit (th.3) l’écriture

exponentielle de z

A

: z

A

= 2

i

3

e

π

, et ici on a bien

3

π

est compris entre -

π

et

π

.

Th.3 : avec r > 0 et

θ

réel

(forme trigonométrique) z = r(cos

θ

+ i sin

θ

)

⇔

(forme exponentielle) z = re

i

θ

.

c) Dessin de A : voir plus loin.

Remarque : l’intention du concepteur est certainement de faire réaliser une construction « exacte », c’est-à-dire « règle-

compas ».

2)

a) Ecriture sous la forme (exponentielle) re

i

θ

(avec r > 0 et

θ

réel compris entre -

π

et

π

) de l’affixe z

B

du point B, image de A

par la rotation de centre O et d’angle

3

π

.

Par exemple :

On a : z

B

=

i

3

e

π

z

A

(th.4) et z

A

= 2

i

3

e

π

donc (th.5) z

B

= 2

2

i

3

e

π

et

ici on a bien

2

3

π

est compris entre -

π

et

π

.

Th.4 : le point P’ d’affixe z’ est l’image du point P d’affixe z

par la rotation de centre O et d’angle a

⇔

z’ = e

ia

z

Th.5 : pour tous a et b réels e

ia

e

ib

= e

i(a+b)

b) Ecriture algébrique de l’affixe z

B

du point B.

Par exemple :

On a : z

B

= 2

2

i

3

e

π

donc (ths.3, 6) z

B

=

1

i

3

−

+

Th.6 : lignes trigonométriques des arcs ou angles associés

(un cercle trigonométrique peut être utile)

c) Dessin de B : voir plus loin.

3)

Nature du triangle OAB.

Par exemple :

Sachant que B est l’image de A par la rotation de centre O et d’angle

3

π

donc OB = OA et

n

AOB

3

π

=

(en radians), donc OAB est isocèle « d’angle au sommet »

3

π

, il est donc équilatéral.

4)

a) Transformation géométrique telle que le point C soit l’image de A, sachant que z

c

= z

A

i

4

e

π

.

Par exemple :

On a : z

c

= z

A

i

4

e

π

donc z

c

=

i

4

e

π

z

A

, donc (th. 4) C est l’image de A par la rotation

de centre O et d’angle

4

π

.

b) Dessin de C : voir plus loin.

c) Ecriture trigonométrique de z

C

.

Par exemple :

On a : z

c

= z

A

i

4

e

π

et z

A

= 2

i

3

e

π

donc (th.5) z

C

= 2

7

i

i

4

3

12

e

2

e

π

π





π

+









=

donc (th.3)

z

C

= 2

7

7

cos

isin

12

12

π

π





+









.

d) Preuve que z

c

= z

A

2

2

i

2

2





+













et écriture algébrique de z

C

.

Par exemple :

On a : z

c

= z

A

i

4

e

π

et

ths.3, 7

i

4

2

2

e

i

2

2

π

=

+

donc z

c

= z

A

2

2

i

2

2





+













.

Par ailleurs, z

A

= 1 + i

√

3, donc (th.8) z

c

=

2

6

2

6

i

2

2

−

+

+

Th.7 :

2

2

cos

et

sin

2

4

2

4

π

π

=

=

Th.8 : i

2

= -1.