Corrige BTS Groupement B 2009

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55Ùì;B::;T:;A>Ù?5ÆCorrection du sujet de BTS 2009  Exercice 1 : A. 1. ...

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• Publié par: aphrodite
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Extrait

CorrectiondusujetdeBTS2009 Exercice1: A. 1. L’équationcaractéristiqueestr²‐2r+1=0 LediscriminantestΔ=(‐2)²‐4=0 L’équationcaractéristiquepossèdeunesolutiondoubler=1 x Lessolutionsdel’équationdifférentielle(E )sontf(x)=(λx+μ)e 0 x xx 2. h’(x)=8xe+4x²e=e (8x+4x²) x xx h’’(x)=e (8x+4x²)+e (8+8x)=e (8+16x+4x²) x xx h’’(x)–2h’(x)+h(x)=e (8+16x+4x²)‐2e (8x+4x²)+e (4x²) x =e (8+16x+4x²‐16x‐8x²+4x²) x =8e donch(x)estunesolutionparticulièredel’équationdifférentielle(E) 3. L’ensembledessolutionsdel’équationdifférentielle(E)sont x xx f(x)=(λx+μ)e+4x²e=e (4x²+λx+μ) Ù 4. f(0)=‐4 μ=‐4 x xx f’(x)=e (4x²+λx+μ)+e (8x+λ)=e (4x²+(λ+8)x+(μ+λ)) Ù f’(0)=‐4 μ+λ=‐4orμ=‐4doncλ=0 Lasolutiondel’équationdifférentiellevérifiantlesconditionsinitialesf(0)=‐4etf’(0)=‐4 x est:f(x)=e (4x²‐4) B. x 1.a.f(x)estdelaformeu×vavecu=4x²‐4etv=e x xx x doncf’(x)=u’×v+u×v’=8xe+(4x²‐4)e=e (4x²+8x‐4)=4(x²+2x‐1)e b.latangenteestparallèleàl’axedesabscisseslorsquef’(x)=0donclorsquelepolynôme dusecondedegréx²+2x‐1s’annule.Lesracinesdecepolynômesont (‐1+√2)≈0,41et(‐1+√2)≈ ‐2,41 xx Æ 2.a.Ledéveloppementlimité,àl’ordre2,delafonctionxe este=1+x+x²/2+x²ε(x) Parmultiplicationdesdéveloppementslimitésetsuppressiondestermesd’ordresupérieur à2onobtientledéveloppementlimitédelafonctionf(x) f(x)=(4x²‐4) ‐4x‐2x²+x²ε(x) =‐4‐4x+2x²+x²ε(x) b.UneéquationdelatangenteTesty=‐4–4x c.f(x)–y=2x²+x²ε(x)doncauvoisinagede0,f(x)–yesttoujourspositifdoncCest audessusdesatangenteT. C. x 1. F(x)=‐f’(x)+2f(x)+8e 2. a.f(x)estpositivesur]‐∞;‐1]U[1;∞[etnégativesur[‐1;1] ଵ ଵ ଵ ܣൌെ ׬ ݂ ሺ ݔ ሻ ݀ݔൌെ ሾ ܨሺݔሻ ሿ ൌെܨ ሺ 1 ሻ ൅ܨሺ0ሻൌെ ሺ 4െ8൅4 ሻ ݁൅4ൌ4ܷ.ܣ. b. ଴ ଴