Corrige BTSCIRA Mathematiques 2004

Description

Suites arithmético géométriques, méthode 1: SE 2005, corrigéOn peut essayer de chercher par nous-mêmes: x n −2x n−1 =e n ⇔x n =2x n−1 +1pour n>0 on obtient: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . Pour passer d’un terme au EXERCICE 1 suivant on multiplie par 2 et on ajoute 1.u =au +bEn notations purement mathématiques on écrit ceci et ici dans ce cas n+1 nu =2u +1précis cela donne donc .n+1 nfonction échelon unité: Il y a une formule, hors programme de BTS mais pas pour autant super compliquée; n1−a n n n n+1u =b +a u u =2 −1+2 u =2 −1elle dit que . Vous pouvez remplacer on trouve .n 0 n 01−aBien sûr l’énoncé va vous guider pour retrouver ce résultat.Nota: pour visualiser ce genre de suite un tableur peut être utile n→e n( )A B100schéma du problème: 1 12 3 =2*A1+13 74 15?5 316 6307n→x n 127n→e n ( )( ) 8 255PARTIE 1 y n =x n +1 x n −2x n−1 =12)a)b) on pose ( ) ( ) , et on remplace dans ( ) ( ) , x n −2x n−1 =e n( ) ( ) ( ) on obtient donc:attention, les parenthèses ne correspondent pas à un, produit, mais à deux fonctions,  y n −1−2 y n−1 −1 =1⇔y n =2y n−1( ) ( ) ( ) ( ) x −2x =ex prise en n, x prise en n-1, et e prise en n. On aurait pu écrire aussi .n n−1 ny 0 =x 0 +1 =2La suite y est donc géométrique, avec d’où le terme ( ) ( )1)a) La réponse tient dans le fait que x est un signal causal, c’est-à-dire n+1général de la suite y, qui est:y n =2 e n , on en déduit celui de la ( ) ( )x n =0que pour n<0.( ) n+1suite x, qui est: x n =y n −e n = 2 −1 e n .( ) ( ) ...

Informations

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• Langue: Français

Extrait

SE 2005, corrigé

EXERCICE 1

fonction échelon unité:

schémâ du problème:

n→e ( n )

n→e ( n )

? n→x ( n )

PARTIE1 x n−2x n−1=e n ( )( )( ) âttention, les pârenthèses ne correspondent pâs à un, produit, mâis à deux fonctions, x prise en n, x prise en n-1, et e prise en n. On âurâit pu écrire âussi n −2x n−1 =e n . x

1)â) Lâ réponse tient dâns le fâit quexest un signâl câusâl, cest-à-dire que x ( n ) =0 pour n<0. Ainsi, pour n=0 léquâtion donne x ( 0 ) −2x ( −1 ) =e ( 0 ) , soit: x0=e0 ) =1 . ( )( b) on prend ensuite n=1,2,3: pour n=1 on obtient: x ( 1−2x0=e1⇔x1−2=1⇔x1=3 ) () () () () pour n=2 on obtient: x ( 2 ) −2x ( 1 ) =e ( 2 ) ⇔x ( 2 ) −6=1⇔x ( 2 ) =7 pour n=3 on obtient: x ( 3−2x2=e3⇔x3−14=1⇔x3=15 . ) () () () ()

Suites ârithmético géométriques, méthode 1: On peut essâyer de chercher pâr nous-mêmes: t: pour n>0 on obtien x ( n ) −2x ( n−1 ) =e ( n ) ⇔x ( n ) =2x ( n−1 ) +1 . Pour pâsser dun terme âu suivânt on multiplie pâr 2 et on âjoute 1. En notâtions purement mâthémâtiques on écrit ceci n+1n et ici dâns ce câs u=au+b précis celâ donne donc n+1n . u=2u+1 Il y â une formule, hors progrâmme de BTS mâis pâs pour âutânt super compliquée; n 1−a nnn n+1 elle dit que n0 . Vous pouvez remplâcer on trouve n0 . u=b+a u u=2−1+2u=2−1 1−a Bien sûr lénoncé vâ vous guider pour retrouver ce résultât. Notâ: pour visuâliser ce genre de suite un tâbleureut être utile A B 100 1 3=2*A1+1 7 15 31 63 0 127 255

2)â)b) on pose y ( n ) =x ( n ) +1 , et on remplâce dâns x ( n ) −2x ( n−1 ) =1 , on obtient donc:   y n−1−2y n−1−1=1⇔y n=2y n−1 ( )  ( )  ( )( ) Lâ suiteyest donc géométrique, âvec y ( 0 ) =x ( 0 ) +1=2 doù le terme n+1 générâl de lâ suitey, qui est: y ( n ) =2e ( n ) , on en déduit celui de lâ n+1 x n=y n−e n=2−1 suitex, qui est: ( )( )( ) ( ) e ( n ) . Suites ârithmético-géométriques, méthode 2: Essâyons de comprendre un peu lâ méthode utilisée pâr lénoncé. Il sâgit dunesuite auxiliaire. Le principe est le suivânt: pour les suites ârithmético géométriques (donc du type n+1n ),on cherche le point fixe α (cest-à-dire quon u=au+b résoud )et lon pose y n =u n −α . Ensuite en trouvânt une relâtion de récurrence x=ax+b pour lâ suiteyon trouve queyest géométrique donc on exprime son terme générâl. Cest âinsi quon âboutit à lâ formule de lâ méthode 1. Dâns cet exemple le point fixe vérifie x=2x+1⇔x=−1 doù lâ consigne y n =x n +1 . Cette méthode est hors progrâmme sâuf quil fâut sâvoir lâ mener en suivânt les indicâtions de lénoncé.