Corrige BTSPLAST Mathematiques 2003

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BTS — groupement DCorrection ´epreuve Math´ematiquesSession 2003Exercice 1 (11 points)Partie A.10 − x4Soit l’´equation : (E) 4y +y = 1200e x1 1 1− x 0 − x 0 − x4 4 41. h (x) =axe ;h (x) =ae 1− .Donc4h ...

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Extrait

BTS — groupement D

Correctione´preuveMath´ematiques

Session 2003

Exercice 1 (11 points)

Partie A. Soitl’e´quation:(E) 4y 0 +y= 1200e − 41 x 1.h 1 (x) =axe − 41 x ;h 0 1 (x) =ae − 1 4 x  1− x 4  . Donc 4h 0 1 (x)+h(x) = 4ae − 41 x .On a donca= 300 eth 1 (x) = 300xe − 1 4 x . 2. (E 0 ) 4y 0 +y= 0 a pour solution les fonctionsy(x) =Ce − 41 x ; les solutions de (E) sont donc les fonctionsh(x) = (C+ 300x)e − 1 4 x 3. Avech(6) = 0, on trouve :C=−1800 eth(x) = (300x−1800)e − 1 4 x

Partie B. Soitfde´+;6einfi[rus∞[ parf(x) = 300(x−6)e − 1 4 x . lim 1. x l → i + m ∞ xe − 41 x = 0 donc x→+∞ f(x) = 0 2.f 0 (x) = 300 e − 1 4 x − 1 4 ×300(x−6)e − 41 x = 75(10−x)e − 1 4 x . 3. Quandx∈[6; 10], f 0 (x)>0 et quandx>10, f 0 (x)60. 4.cf courbe

Partie C. 1. (a)cf courbe (b) Table :

x i  20 25 15 17,510 12,5 y i 100 85 62 42 28 110 z i = ln  x i y i −6  3,219 2,571 1,93 1,295 0,693 -0,547 (c)z≈ −0,250686x+ 5,704929 (d)y= (x−6)e −0,25x ∙e 5,705 ≈300(x−6)e −0,25x 2. Soitg(x) =xf(x) = 300x(x−6)e − 41 x .g 0 (x) =−75(x 2 −14x+ 24)e − 41 x . g 0 (x)>0 si 66x612 etg 0 (x)60 pourx>12.gpresente donc un ´ maximum pourx= 12 000 euros etg(12)≈1075,4milliers d’euros.

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