Corrige CCP Mathematiques 1 2000 PC

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66666CCP 2000 - Option PC - Maths 1Partie I0 0 0 01) a) On note C ; :::; C les colonnes de A , C ; :::; C ; C ; :::; C celles1 n 1 n n+1 2n Ck0de M , avec : C = pour 1 k n . Si A est non inversible , sesk 0n;1colonnes sont liees : 9( ; ::; ) = (0; :::; 0) tq C ++ C = 0 . Alors1 n 1 1 n n n;10 0 0 0 C ++ C = 0 , donc la famille (C ; :::; C ) est liee , donc la famille1 n 2n;11 n 1 n0 0 0 0(C ; :::; C ; C ; :::; C ) aussi , donc M est non inversible .1 n n+1 2n I Bnb) XP = M , X =0 Cp;nc) On calcule les determinants de X et P en developpant suivant les npremieres colonnes de X et les p dernieres colonnes de P : det(X) = det(C) etdet(P) = det(A)2) Soit k = dim(F) . On prend une base de F , qu’on complete en unenbase de R . F etant stable par u la matrice de u dans cette base est de laforme M , ou A est la matrice de v dans la base choisie de F . On a alors xI A Bk: (x) = det = det(xI A) det(xI C) etu k n k0 xI Cn k;k n k (x) = det(xI A) . Conclusion : divise v k v u3) F (x) est non vide et stable par CL , et : y2 F (x))9P 2R[X] tq y =u uP(u)(x) . Alors u(y) = Q(u)(x) avec Q(X) = XP(X) . Donc u(y) 2 F (x) .uConclusion :nF (x) est un SEV de R stable par uun4) a) La famille (x; u(x); :::; u (x)) comporte n + 1 vecteurs dans un EV dekdimension n , donc est liee , donc l’ensemble fk 2 N = (x; u(x); :::; u (x)) lieegn’est pas vide . Il est inclus dans N donc admet un plus petit element q , etq n . (x = ...

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Extrait

CCP 2000 - Option PC - Maths 1

Partie I 1) a) On noteC 1 , ..., C n les colonnes deA,C 0 1 , ..., C 0 n , C 0 n+1 , ..., C 2 0 n celles deM, avec :C k 0 =  0 C ,n k 1  pour 1≤k≤n. SiAest non inversible , ses colonnessontlie´es:∃(λ 1 , .., λ n )6= (0, ...,0)tq λ 1 C 1 +∙ ∙ ∙+λ n C n = 0 n,1 . Alors λ 1 C 0 1 +∙ ∙ ∙+λ n C 0 n = 0 2n,1 , donc la famille (C 1 0 , ..., C 0 n d,eelcnomafaellies)i´tl (C 0 1 , ..., C 0 n , C 0 n+1 , ..., C 2 0 n ) aussi , doncMest non inversible . b)XP=M⇔X=  0 I p, n n B C  c)Oncalculelesde´terminantsdeXetPsuntanivelevpaop´dneltsen premie`rescolonnesdeXet lespdeesnnolocsere`inredP: det(X) = det(C) et det(P) = det(A)

2) Soitk= dim(F prend une base de) . OnFnenuee’unoq,`lteocpm base deR n .Ftstnate´rapelbaula matrice deudans cette base est de la formeM,o`uAest la matrice devdans la base choisie deF a alors. On :χ u (x) = det  xI k −A I n− − k B −C  = det(xI k −A) det(xI n−k −C) et 0 n−k,k x χ v (x) = det(xI k −A) . Conclusion :χ v diviseχ u

3)F u (x) est non vide et stable par CL , et :y∈F u (x)⇒ ∃P∈R[X]tq y= P(u)(x Alors) .u(y) =Q(u)(x) avecQ(X) =XP(X) . Doncu(y)∈F u (x) . Co F u (x) est un SEV deR n stable paru

4) a) La famille (x, u(x), ..., u n (x)) comporten dans un EV de+ 1 vecteurs dimensionnel’lneesbme,´encdoceonlistd,{k∈N/(x, u(x), ..., u k (x))li´ee} n’est pas vide . Il est inclus dansNtmeadnptuncdo´le´nemepsultiteq, et q≤n. (x6= 0 E donc (x) est libre :q≥1) b) (x, u(x), ..., u q (xodcn,ee´iltse))∃(a 0 , ..., a q )6= (0, ..,0)tq P q k=0 a k u k (x) = 0 E  si on pose. OrS(X) = P q k=0 a k X k , on a P q k=0 a k u k =S(u) et donc S(u)(x) = 0 E . Sia q iate´reilultntaierst P k q−1 =0 a k u k (x) = 0 E avec (a 0 , ..., a q−1 )6= (0, ..,0) , ce qui est faux car la famille (x, u(x), ..., u q−1 (xerbiltse))nitio´efinpard deq. Donca q 6= 0 . Par suite :u q (x)∈V ect(x, u(x), ..., u q−1 (x)) etu q (x) =λ 0 x+λ 1 u(x) +∙ ∙ ∙+ λ q−1 u q−1 (xo’d,)u`u q+1 (x) =λ 0 u(x)+λ 1 u 2 (x)+∙ ∙ ∙+λ q−2 u q−1 (x) +λ q−1 [λ 0 x+ λ 1 u(x) +∙ ∙ ∙+λ q−1 u q−1 (x)] doncu q+1 (x)∈V ect(x, u(x), ..., u q−1 (x)) et par re´currenceu q+k (x)∈V ect(x, u(x), ..., u q−1 (x)) pour tout entierk. Finalement :∀P∈R[X], y=P(u)(x)∈V ect(x, u(x), ..., u q−1 (x)) donc la famille est

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