Corrige E3A Mathematiques A 2005 PC

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6Concours E3A 2005Math A - PC————Partie I2 3I.1 T = 1;T (X) = X;T (X) = 2X 1 et T (X) = 4X 3X.0 1 2 3Pour m = 0 T est de degrØ 0 , de coe¢ cient dominant 1 et pairemI.2m 1Montrons par rØcurrence double sur m 1 que T est un polyn me de degrØ m , de coe¢ cient dominant 2 si m 1mmet vØri ant de plus T ( X) = ( 1) T (X) (et donc T a la paritØ de m).m m m C est vØri Ø pour m = 1;2;3: On suppose la propriØtØ vraie pour m 1 et m. On a T (X) = 2XT (X) T (X)m+1 m m 1 –on a d (T ) = m 1 = m+1 = d (2XT ), donc T est de degrØ m+1m 1 m m+1m–son coe¢ cient dominant provient uniquement du facteur 2XT donc c’est 2 .mm+1–T ( X) = 2XT ( X) T ( X) = ( 1) T (X).m+1 m m 1 m+1 La propriØtØ est vraie au rang m+1, elle est donc vraie pour tout m.m 18 m 1, T est un polyn me de degrØ m , de coe¢ cient dominant 2 ayant la paritØ de mmattention au cas particulier m = 0I.3 La famille (T ;T ;:::;T ) est composØe de polyn mes ayant des degrØs deux à deux distincts, elle est donc libre; les0 1 nnpolyn mes T sont dansR [X].; en n card(T ) = n+1 = dim(R [X]),n n i ni=0n(T ) est donc une base deR [X]i ni=0I.4 a) Montrons par rØcurrence sur n que T (cosx) = cos(nx) et T (chx) = ch(nx)n n–C est vØri Ø pour n = 0 et n = 1.–Supposons la propriØtØ vraie pour n 1 et n. On sait que cos(nx+x)+cos(nx x) = 2cos(nx)cos(x) et ch(nx+x)+ch(nx x) = 2ch(nx)ch(x) donccos(nx+x) = 2cos(x)T (cosx) T (cosx) = T (cosx)n n 1 n+1ch(nx+x) = 2ch(x)T (chx) T (chx) = T (chx)n n 1 n+1–La propriØtØ ...

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• Publié par: shin
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• Langue: Français

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