EDHEC 2005 : option ES Corrigé de l’épreuve de mathématiques Exercice 1 1) Soit M et M’ deux matrices de M (IR) et λ un réel. 2ac ac′′ λλaa+ ′ c+c′⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞En notant M = et M’ = , on a λ M + M’ = . ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝bd ⎠ ⎝bd ⎠ ⎝bb+ ′ d +d′ ⎠Par définition de f, on peut écrire : f ( λ M + M’) = (λ M + M’) + (λ a + a’ + λ d + d’) I. On en déduit : f ( λ M + M’) = λ M + M’ + λ(a + d) I + (a’ + d’) I = λ(M + (a + d) I ) + (M’ + (a’ + d’) I). Ceci prouve que : f ( λ M + M’) = λ f (M) + f (M’). L’application f est donc linéaire. Comme de plus, f (M) est combinaison linéaire des deux matrices M et I qui sont éléments de M (IR), on est sûr que f (M) appartient à M (IR). 2 2En conclusion : f est un endomorphisme de M (IR). 2 10⎛ ⎞2) a) J = donc f (J ) = J + (1 + 0) I = J + I. 1 ⎜ ⎟ 1 1 1⎝00 ⎠Comme I = J + J , on obtient : 1 4f (J ) = 2 J + J . 1 1 401⎛ ⎞J = donc f (J ) = J + (0 + 0) I, d’où : 2 ⎜ ⎟ 2 200⎝ ⎠f (J ) = J . 2 200⎛ ⎞J = donc f (J ) = J + (0 + 0) I, d’où : 3 ⎜ ⎟ 3 310⎝ ⎠f (J ) = J . 3 3 00⎛ ⎞J = donc f (J ) = J + (0 + 1) I = J + I. Toujours en remarquant que I = J + J , on 4 ⎜ ⎟ 4 4 4 1 4⎝01 ⎠obtient : f (J ) = J + 2 J . 4 1 4 b) Par définition de la matrice d’un endomorphisme dans une base, la matrice A de f dans la base (J , J , J , J ) est : 1 2 3 42001⎛ ⎞⎜ ⎟0100⎜ ⎟A = . ⎜ ⎟0010⎜ ⎟1002⎝ ⎠ Corrigé EDHEC 2005 – Math ES 1 c) La matrice A est symétrique donc elle est diagonalisable, ce qui prouve que f ...
EDHEC 2005 : option ES Corrigé de l’épreuve de mathématiques Exercice 11)SoitMetM’deux matrices deM2I(R)etλun réel. a En notantM=⎛⎝⎜dcb⎟⎞⎠etM’=⎜⎝⎛ab′′cd⎞⎟⎠′′, on aλM+M’=⎜⎛⎝λλba++ba′λλ′dc++dc⎠⎟⎞′′. Par définition def, on peut écrire :f(λM+M’) = (λM+M’) + (λa+a’+λd+d’)I. On en déduit : f(λM+M’) =λM+M’+λ(a+d)I+ (a’+d’)I=λ(M+ (a+d)I)+(M’+ (a’+d’)I). Ceci prouve que : f(λMM’) =λf(M) +f(M’). L’applicationfest donc linéaire. + Comme de plus,f(M) est combinaison linéaire des deux matricesMetIqui sont éléments de M2(IR), on est sûr quef(M) appartient àM2(IR). En conclusion : fest un endomorphisme deM2(IR).
1 0 2) a)J1=⎜⎛⎝0 0⎞⎠⎟doncf(J1) =J1+ (1+0)I=J1+I. CommeI=J1+J4, on obtient : f(J1) = 2J1+J4. J2=⎜⎝⎛0010⎠⎟⎞doncf(J2) =J2+ (0+0)I, d’où : f(J2) =J2. J3=⎝⎛⎜1000⎟⎠⎞doncf(J3) =J3+ (0 + 0)I, d’où : f(J3) =J3. J4=⎛⎜⎝0001⎠⎞⎟doncf(J4) =J4+ (0+1)I=J4+I. Toujours en remarquant queI=J1+J4, on obtient : f(J4) =J1+2J4. b)Par définition de la matrice d’un endomorphisme dans une base, la matriceAdefdans la base (J1,J2,J3,J4) est : 2 0 0 1 ⎜⎜⎛⎜0 1 0 0⎟⎟⎟⎞A=⎜. 0 0 1 0 ⎝1 0 0 2⎟⎠