Corrige ENAC ICNA Epreuve optionnelle 2005 PC

Description

ICNA - SESSION 2005 ÉPREUVE OPTIONNELLE DE PHYSIQUE CORRIGÉ Courant dans le vide. 1. Dans l'espace inter-électrode le potentiel obéit à l'équation de Poisson : ρ (r )∆V()r = − ε 0soit en coordonnées cylindriques : 2d V (r ) 1 dV (r ) ρ (r )+ + = 0 2 r dr εdr 02. On néglige le poids de l'électron devant la force électrique. Par ailleurs, en l'absence de toute force de frottement, l'énergie mécanique de l'électron se conserve au cours de son mouvement. Il en résulte, pour des électrons non relativistes et compte tenu des conditions initiales, que : 1 2mv − eV()r = 0 2On en déduit la vitesse d'un électron à la distance r de la cathode : 2ev()r = V()r m3. L'intensité du courant I(r) qui traverse la surface cylindrique d'axe Oz, de rayon r et de hauteur h, est égale au flux du vecteur densité de courant, j (r ) = ρ (r )v (r )e ,à travers cette surface : r2 π hI()r = j()r .(− dSe ) = −r ρ()r v(r) d θ dz r∫∫ ∫ ∫S 0 0soit : I (r ) = −2 π h r ρ (r )v (r ) 4. De la relation précédente et compte tenu de l'expression de v(r) on déduit : I (r ) I (r ) m −1/ 2ρ()r = − = − ()Vr 2 π r h v()r 2 π r h 2eEn reportant dans l'équation de Poisson il vient : 2d V()r dV (r ) I (r ) m −1/ 2r + = ()Vr 2 dr 2 π ε h 2edr 0En rapprochant cette expression de celle proposée dans l'énoncé on obtient : 1 mK = 2 π ε h 2e05. En régime stationnaire I = Cte et le potentiel V(r) obéit à l'équation différentielle : 2d V (r ) dV (r ) −1/ 2r + = KI()Vr 2 drdrαOn cherche ...

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Extrait

Courant dans le vide.

CORRIGÉ

1.Dans l'espace inter-électrode le potentiel obéit à l'équation de Poisson : ( )  ρr) ∆V r= − ε 0 soit en coordonnées cylindriques :

d 2 V rd 2 (r + )d 1 r V(r ) + ρ(r = ) 0 drε 0

2.On néglige le poids de l'électron devant la force électrique. Par ailleurs, en l'absence de toute force de frottement, l'énergie mécanique de l'électron se conserve au cours de son mouvement. Il en résulte, pour des électrons non relativistes et compte tenu des conditions initiales, que : 2 − = 1 2 mveV(r)0 On en déduit la vitesse d'un électron à la distance r de la cathode : v ( r ) = 2e V ( r )  m

3.L'intensité du courant I(r) qui traverse la surface cylindrique d'axe Oz, de rayon r et de hauteur h, est égale au flux du vecteur densité de courant,jr ) = r ) v r ) e r ,à travers cette surface : 2πh I(r) = ∫∫ j(r).(−dSe r ) = −rρ(r)v(r) ∫ dθ ∫ dz S 0 0 soit :

I r ) = 2πh r r ) v r ) 

4.de l'expression de v(r) on déduit :De la relation précédente et compte tenu I r I r m −/ 2  ρ(r) = −  h2 r ) v(r −= )2 r ) h 2e (V(r)) 1 π π En reportant dans l'équation de Poisson il vient : d V(r) (  )) −1/ 2  r+ = 2 dr 2 ) rd Vdr) 2π I ε r 0 e V h m 2 (r En rapprochant cette expression de celle proposée dans l'énoncé on obtient : K= 1 m  2π ε 0 h 2e

5.En régime stationnaire I = Cte et le potentiel V(r) obéit à l'équation différentielle : r d 2 V r + )dV r =V r −  dr 2 dr ) KI ))( ( 1/ 2 On cherche des solutions de la forme V ( r ) = Ar α ce qui nous conduit à : α    2 K A 3 / I 2 r 1− 3 2    A r α−1 =0 α −   Cette relation ne peut être vérifiée pour toute valeur de r que si le terme entre parenthèses est indépendant de r et nul, condition réalisée pour :

AC