Corrige ENSMP Mathematiques 2006

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• Publié par: shin
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Extrait

6 CONCOURSCOMMUN2006 DES ECOLES DES MINES D’ALBI, ALES, DOUAI, NANTES Epreuve de Mathématiques (toutes filières) PREMIER PROBLEME Etude d’une fonction. 1. D =C \ {2i}. 22. a) Soient (x,y)∈R , puis z =x+iy. q 2 2 2 22 2z =8−6i⇔ Re(z ) =8 et |z | = 8 +(−6) et sgn(Im(z )) = sgn(−6)   2 2 2 x −y =8 (I)  2x =18 (II)+(I)  x =±3 2 2 2⇔ x +y =10 (II) ⇔ 2y =2 (II)−(I) ⇔ y =±1   xy<0 xy<0 xy<0 ⇔ (x,y) = (3,−1) ou (x,y) = (−3,1)⇔z =3−i ouz = −3+i. Les racines carrées de 8−6i sont 3−i et −3+i. b) Soit z∈C \ {2i}. 2z 2f(z) =1+i⇔ =1+i⇔z −(1+i)z−2+2i =0 z−2i 2 2Le discriminant de cette équation vaut (1 +i) −4(−2 +2i) = 8 −6i = (3 −i) . Cette équation admet donc deux (1+i)+(3−i) (1+i)−(3−i) solutions complexes distinctes à savoir z = =2 et z = = −1+i.1 2 2 2 Les antécédents de 1+i par f sont 2 et −1+i. 23. Soit (h,z)∈C . 2z 2 2 2f(z) =h⇔ =h⇔z =h(z−2i) etz =2i⇔z =h(z−2i)⇔z −hz+2ih =0. z−2i 2Le discriminant de cette équation vaut h −8ih ou encore h(h−8i). •Si h∈/ {0,8i}, ce discriminant est non nul. Dans ce cas, h admet exactement deux antécédents distincts. •Si h =0 ou h =8i, ce discriminant est nul. Dans ce cas, h admet exactement un antécédent. 4. Ainsi, tout complexe h admet au moins un antécédent par f dans D. Ceci signifie que f est surjective ou encore que f(D) =C. 5. 1+i a deux antécédents distincts, à savoir 2 et −1+i. f n’est donc pas injective. chttp ://www.maths-france.fr 1 Jean-Louis Rouget, 2006. Tous droits réservés.6 6 6 b b b 6. Soit z∈C \ {2i}. On pose z =x+iy où x et y sont deux réels. On a 2 2z z2 2|z−2i| = (z−2i)(z−2i) = (z+2i)z , z−2i z−2i et donc 2 2 2 2 2 2 2 2g(z) =z (z+2i+z) = (x −y +2ixy)(2x+2i) =2x(x −y )−4xy+i(4x y+2(x −y )) 3 2 2 2 2 = (2x −2xy −4xy)+i(4x y+2x −2y ) 3 2 2 2 2∀z∈D, Re(g(z)) =2x −2xy −4xy et Im(g(z)) =4x y+2x −2y . 7. Soit z∈C \ {2i}. 3 2 2 2 g(z)∈iR⇔ 2x −2xy −4xy =0 et (x,y) = (0,2)⇔ 2x(x −y −2y) =0 et (x,y) = (0,2) 2 2⇔ (x =0 et (x,y) = (0,2)) oux −y −2y =0 2 2Γ est la réunion de l’axe (Oy) privé du point d’affixe 2i et de la conique d’équation x −y −2y =0. 2 2 2 2 2 28. x −y −2y = 0⇔ x − (y+1) = −1⇔ −x + (y+1) = 1. La courbe C est une hyperbole de centre Ω(0,−1), d’axe focal la droite d’équation x =0 (c’est-à-dire la droite Δ) et d’axe non focal, la droite d’équation y = −1.√ √√ c 2 2On a aussi a = b = 1 et donc c = a +b = 2, puis e = = 2. Les foyers de C sont donc les points F = b√ √ √ ′(0,−1)+(0, 2) = (0,−1+ 2) et F (0,−1− 2). √ √ √ C est une hyperbole d’excentricité 2 et de foyers les points de coordonnées (0,−1+ 2) et (0,−1− 2). 4 C 3 2 1 F −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 Ω −1 −2 ′F −3 −4 −5 D−6 chttp ://www.maths-france.fr 2 Jean-Louis Rouget, 2006. Tous droits réservés.6 6 6 6 Etude d’un polynôme. 9. En développant (t−t )(t−t )(t−t ) et en identifiant avec les coefficients de P , on obtient :1 2 3 a t +t +t =0 et t t t = −2.1 2 3 1 2 3 10. P (0) = 2 > 0. De plus, P (−∞) = −∞ < 0. Comme P est continu sur ] −∞,0], une généralisation du théorèmea a a des valeurs intermédiaires montre que P a au moins une racine dans ]−∞,0[. En particulier, t <0.a 1 2 11. Mais alors t +t = −t > 0 et t t = − > 0. Par suite, t < 0 < t ≤ t . Enfin, −t = t +t ≥ 0+t = t .2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 3 t1 Finalement, t <0