Corrige Group BTS Maths SE CIRA 2009

Description

Mathématiques-brevetdetechniciensupérieursession2009-groupementAÉlémentsdecorrectionExercice1 -(9points)Z11. Onpose I= tcos(nπt)dt0 ( ′½ · ¸ Z1u (t)=1 11u(t)=t 1Onpose donc 1 et I= tsin(nπt) − sin(nπt)dt′v (t)=cos(nπt) v(t)= sin(nπt) nπ nπ 00nπZ1 £ ¤1 cos(nπ)−11tcos(nπt)dt=0+ cos(nπt) =2 2 0 2 2n π n π0 Z1 cos(nπ)Pourlasuitedel’exercice,onadmetque: tsin(nπt)dt=− .nπ02. Onconsidèrelafonction f définiesur R,périodiquedepériode2,telleque:(f(t)=t sur[0;1[f(t)=0 sur[1;2[(a) Voirdocumentréponsen°1.(b) OnappelleS lasériedeFourierassociéeàlafonction f.f+∞XOnnoteS (t)=a + [a cos(nπt)+b sin(nπt)]f 0 n nn=1 · ¸Z Z 12 1 21 1 1 1ta = f(t)dt= tdt= =02 2 2 40 0 2 0Z Z2 12 cos(nπ)−1a = f(t)cos(nπt)dt= tcos(nπt)dt=n 2 22 n π0 0Z Z2 12 cos(nπ)b = f(t)sin(nπt)dt= tsin(nπt)dt=−n2 nπ0 0Parconséquent : · ¸+∞X1 cos(nπ)−1 cos(nπ)S (t)= + cos(nπt)− sin(nπt)f 2 24 n π nπn=1(c) · ¸Z Z 12 1 31 1 1 1t2 2 2μ = [f(t)] dt= t dt= =ef f 2 2 2 60 0 3 0(d)n 1 2 32 2a − 0 −n 2 2π 9π1 1 1b −nπ 2π 3π(e)3X1 2 2a + (a +b )0 n n2 n=1A= ≃0,9152μef f13. Soit g la fonction définie sur R , périodique depériode2, dont la courbe représentativeC est tracée sur l’intervalleg[−4;4]dansledocumentréponsen°1.Onadmetqueledéveloppement ensériedeFourierS (t)associéàlafonction g,estdéfinipar:gS (t)=S (−t)g fOnsaitque: (cos(−nπt)=cos(nπt)carlafonctioncosinusestpairesin(−nπt)=−sin(nπt)carlafonctioncosinusestimpairedonc: · ¸ · ¸+∞ +∞X X1 cos(nπ)−1 cos(nπ) 1 cos(nπ)−1 cos(nπ)S (t)=S ...

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Extrait

Mathématiques  brevet de technicien supérieur session 2009  groupement A Éléments de correction

Exercice 1 (9 points)

Z 1 1. OnposeI=tcos(nπt) dt 0 ( ′ ½ ·¸ Z u(t)=1 1 1 u(t)=t 1 1 On pose donc 1 tI= ′ e tsin(nπt) −sin(nπt)dt v(t)=cos(nπt) v(t)=sin(nπt) nπ 0 nπ 0 nπ Z 1 £ ¤ 1 1 cos(nπ)−1 tcos(nπt) dt=0+ cos(nπt) = 2 2 0 2 2 0 nπnπ Z 1 cos(nπ) Pour la suite de l’exercice, on admet que :tsin(nπt) dt= −. 0 nπ 2. Onconsidère la fonctionfdéfinie surR, périodique depériode 2,telle que : ( f(t)=tsur [0;1[ f(t)=2[0 sur[1; (a) Voirdocument réponse n°1. (b) OnappelleS f la série de Fourier associée à la fonctionf. +∞ X On noteS f (t)=a 0 + [ a n cos(nπt)+b n sin(nπt)] n=1 Z Z · ¸ 2 1 2 1 1 11 1 t a 0 =f(t) dt=tdt= = 2 4 2 0 2 0 2 0 Z Z 2 1 2 cos(nπ)−1 a n =f(t) cos(nπt) dt=tcos(nπt) dt= 2 2 2 0 0 nπ Z Z 2 1 2 cos(nπ) b n =f(t) sin(nπt) dt=tsin(nπt) dt= − 2 0 0 nπ Par conséquent : · ¸ +∞ X 1 cos(nπ)−1 cos(nπ) S f (t)= +cos(nπt)−sin(nπt) 2 2 4nπnπ n=1 (c) Z Z · ¸ 2 1 3 1 1 11 1 2 22 t µ=[f(t)] dt=tdt= = e ff 2 0 3 0 2 0 2 6 (d) n1 2 3 2 2 a n −0− 2 2 1 11 b n − (e) 3 X 1 2 2 (a+b a 0 + n n ) 2 n=1 A= ≃0, 915 2 µ e ff

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