Deuxième composition de Mathématiques 2007 CAPES de mathématiques CAPES (Externe)

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 01 avril 2008
• Nombre de lectures: 43
• Langue: Français

Extrait

Capesexternedemath ´ ematiques:session2007 deuxi ` emecomposition INTRODUCTION

Danstoutleproble`me,nunneigesnaertiennonlerut´d.lun scalaire usuel :

n ∀x= (x 1 , . . . , x n )∈R,

n ∀y= (y 1 , . . . , y n )∈R,

n etond´efinitlanormed’unvecteurx= (x 1 , . . . , x n )∈Rpar  n    2 ||x||=x i i=1

n On munitRdu produit

n  x, y=x i y i i=1

n n n Soitaun vecteur deRnon nul, on notes a alys´mteiroetrlenagohodeRdansR de´finiepar a, x n ∀x∈R, s a (x) =x−2a a, a n n On dit qu’une partieRdeRest uneredinacyssemt`sedansRisleel´verifieles conditions suivantes : n – la partieRengendre le0 et est finie, ne contient pas R-espace vectorielR; – pour toutα∈R,s α (R) =R(en particulier−α∈R) ; α, β – pour tousα, β∈R, n α,β = 2∈Z α, α – pour toutα∈Rle,euss´elseml´stneedR`sannlepoporoitrαsontαet−α. Les coefficientsn α,β (α, β∈Rpatnos)sleesl´pecoefficients de structureudsyst`eme de racinesR.  Onditquedeuxsyst`emesderacinesRetRsont desedseme`tisenicarrphesomoysss n n s’il existe un isomorphisme d’espaces vectorielsϕ:R→Rfiantvire´

 ϕ(R) =R

et

∀α, β∈R,

n=n ϕ(α),ϕ(β) α,β

DanslapartieI,one´tudielessyst`emesderacinesduplan.Cettepartiepermetdese familiariser avec cette notion et d’avoir des exemples sur lesquels s’appuyer pour la suite duprobl`eme.PuisdanslapartieII,one´tudiedesrelationsd’ordretotalcompatiblesavec n la structure d’espace vectoriel deRC.teetaprtieestind´ependetnaaledtrap.IeisCe relationsd’ordrepermettront,danslapartieIII,d’extraired’unsyste`mederacinesune

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n base deR.triova’dtiafelismeˆeMermetdemieuxaborartie´alaptreipIcredelle,ic- leseulr´esultatutileestrappel´eende´butdelapartieIIIetpourraeˆtreadmis.Seulela derni`erequestiond´ependdelapartieI.LapartieIVestconsacre´e`al’´etuded’ungroupe engendre´parlessyme´triesassoci´ees`aunsyste`mederacines.Onmontreraquelessyme´tries associe´esa`unebasesuffisent`aengendrerlegroupe.Pourcela,onutiliseradesre´sultats e´tablisdanslapartieIII.Ensuite,danslapartieV,one´tudieralesgroupesdie´drauxeton montreraqu’ilssontengendre´spardeuxe´le´mentsd’ordre2.Cettepartieestinde´pendante decequipr´ec`ede(saufpourtraiterladernie`requestion).DanslapartieVI,onassocie`aun n syste`mederacinesunensembledepartiesconnexesdeRursi´efinupedorgeltigaleuqsel danslapartieIV.Onmontreensuite,pardesargumentsdedualite´etdetopologie,que touteslesbasesextraitesdusyst`emederacinessontenbijectionaveccesconnexes.Cette partie se finit en montrant que le groupe agit simplement transitivement sur l’ensemble de cesconnexesetsurl’ensembledesbasesdusyst`emederacines.

2 ` Partie I. SYSTEMES DE RACINES DANSR 2 Dans cette partie, on supposeran= 2.SoitRsyst`emeundseedaricenR.Pour α, β∈R, on noteθ α,β treueentriqe´gee´mo’llgnaαetβe,trenispromlc´reebmerelon.i.e 0 etπrapinfie´d α, β cos(θ α,β ) = ||α|| ||β||

1.Soitα, β∈R. 2 a)Montrer quen α,β n β,α = 4 cos (θ α,β ) . b)eporseualsdleibssde´dnEvseleriuθ α,β . c)(Montrer que le couple n α,β , n β,α (1) ne peut pas prendre les valeurs ,4) , (4,1) , (−1,−4) et (−4,−1) . 2 π||α||n β,α d)Pourθ α,β eslrdospslsabuieelvsiuuerd´edet=euqretron,m= 2 2||β||n α,β ||α|| rapport ||β|| e)En supposant||α|| ≤ ||β||fsroem’dnuatlbaeu,lesdiff´erenteselavsruesr´,poursteen ||β|| den α,β ,n β,α ,θ α,β et . ||α|| 2 2.erlessinnsDepsnoroerercsfisugstsyreatqu`antdaadsenicaredseme`Rnon deux `adeuxisomorphes(danschacundescas,l’unedesracinesdevraeˆtre(1,0) ). On les ordonnera dans l’ordre croissant du nombre de racines et on les appelleraA 1 ×A 1 , A 2 ,B 2 etG 2 4 , (ayant respectivement 8 et 12 racines).6 ,

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3.Soitαune racine deRde norme minimale. Supposons qu’il existe une racineβdeR nonproportionnelleetnonorthogonalea`α.uQtieta`rtnaorsfrmeRpar une rotation, unehomoth´etieouunesym´etrieorthogonaled’axeR× {0}(qui laissent invariants les coefficientsdestructuredusyst`emederacines),onpeutsupposerα= (1,0) etβde deuxie`mecoordonn´eestrictementpositive.

a)Montrer quen α,β = 0 . En posantγ=s α (β),montrer quen α,γ =−n α,β .

Quitte`aremplacerβpars α (βon supposera) , n α,β <udesbleaursvalepa’dte0atelse`r deθ α,β r.n,eertt´rsessateppeivuocnse √ 3π b) cas 1 :Supposons que||β||= 2||α||etθ α,β = . Calculers α (β) ets β (α) et 4 repre´sentergraphiquementlesquatreracinesα,β,s α (β) ets β (αriqee´ud.Endeu) B 2 ⊂R. En supposant qu’il existeγ∈R\B 2 , montrer qu’alors l’angle entreγet π une racine deB 2 euqerurueia`cnE.lcnoeinsterf´R=B 2 . 8 √ 5π c) cas 2 :Supposons que||β||= 3||α||etθ α,β = . Calculer 6 s α (β), s β (α), s β ◦s α (β) ets α ◦s β (α)

etlesrepr´esentergraphiquementainsiqueαetβ.Eeuqeirdu´endG 2 ⊂R. En raisonnant par l’absurde, montrer queR=G 2 . 2π d) cas 3 :Supposons que||β||=||α||etθ α,β = . Calculers α (βeire)etdne´ud 3 queA 2 ⊂R. Supposons queR=A 2 , soitγ∈R\A 2 . Montrer que l’angle entreγet π deux vecteurs adjacents deA 2 nemeedstge´tse.Qal`ae`aruittedexe´nie´´llrseA 2 , 6 5π montrer qu’on peut supposerθ α,γ .nE´d=eeduirequR=G 2 . 6 2 4.ia`’uqerulcnocnEesr`epsmhirpmosotaereuuqy’qai,nlacinsder`emesystesdansR.

Partie II.

n RELATIONS D’ORDRE DANSR

n Une relation d’ordresurRest dite compatible avec la structure d’espace vectoriel de n Rntes:onssuivacxnoiditefieldsueeisire´vell n –∀x, y, z∈R, xy=⇒x+zy+z; n+ –∀x, y∈R,∀λ∈R, xy=⇒λxλy. Larelationd’ordrestrictassocie´eestnote´e≺.

n 1.Soitune relation d’ordre total surRcompatible avec la structure d’espace vec- toriel.

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