EA 1999 premiere epreuve classe prepa mp

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ProbRme On se propose dans ce probleme detudier quelques proprietes de l'application (n, a) + x, (a) ou (n, a) E N x [w + et x,( a) vérifie : On posera, pour tout entier naturel n et tout réel t 2 O : La partie III est dans une large mesure indépendante des deux premières parties du problème. Partie 1 : Etude de la suite des fonctions ,,, 1-1 On supposera dans cette question n 2 3. (a) Montrer que la dérivée D(f,) de la fonction f, s'annulle 2 fois sur [O,+oo[ en an et /?, tels que O < a, < 1 et n - 1 < p,. Dresser le tableau de variations de f, sur [O,+oo[. (b) Montrer que p, < n, puis déterminer lim f,(p,). n++m 1 (c) Montrer que (a,)"-' - -. Déterminer lim a, et lim f,(a,). n++m n m++m n++m 1-2 Dans cette question n E N . (a) Montrer que la suite de fonctions (h),= converge simplement sur [O,+oo[ vers une fonction g que l'on précisera. (b) Etudier la position relative des graphes des fonctions f,, et g. (c) Représenter sur une même figure les graphes de f, et de g, pour n grand. (h),e converge-t-elle uniformément sur [O,+w[ ? (d) La suite 1-3 Soit A ER + un réel fixé. En citant précisément le théorème utilisé et en en vérifiant les A e' hypothèses, déterminer la limite pour n + +oo de la suite dt . JO Partie II : La suite (xn( a)),E II-1 Soit n E N un entier fixe. (a) Démontrer que pour tout réel a 1 O donné, il existe un et un seul x, (a) 2 O tel que : t x,(a) e dt = a 10 ïz (b) Préciser le sens de variation de la fonction x, : a + x, ...

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• Publié par: aiolos
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